高考分类题库-数系的扩充与复数的引入

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考点12 数系的扩充与复数的引入

1. （2010·湖南高考文科·Ｔ１） 复数

2等于（ ） 1?iA.1+i B. 1-i C.-1+i D.-1-i 【命题立意】以分式结构可以考查学生对复数的除法的掌握。 【思路点拨】分子分母同乘以1+i. 【规范解答】

22(1?i)2(1?i)===1+i.∴选A.

21?i(1?i)(1?i)【方法技巧】分母实数化常常分子分母同乘以分母的共轭复数. 2.（2010·天津高考理科·Ｔ１）i 是虚数单位，复数

?1?3i?( )

1?2i(A) 1＋i (B) 5＋5i (C) -5-5i (D) -1－i 【命题立意】本题主要考查复数的概念及运算能力． 【思路点拨】分母实数化。 【规范解答】选A.

?1?3i??1?3i??1?2i?5?5i???1?i

1?2i551+2i?1?i，则（ ） a?bi3.（2010·辽宁高考理科·Ｔ2）设a,b为实数，若复数（A）a?31,b? (B) a?3,b?1 2213(C) a?,b? (D) a?1,b?3

22【命题立意】本题主要考查复数的除法运算和复数相等的性质

【思路点拨】思路一、去分母两边都乘以a?bi，把等式的两边都变为复数的代数形式，再利用复数相等实部虚部分别相等，得到关于a、b的方程组，解出a和b。 思路二、将

1?2i分子分母都乘以分母的共轭复数a?bi，把左边化为复数的代数形式，利用复数相等时，a?bi实部和虚部分别相等，得到关于a、b的方程组，解出a和b。 【规范解答】选A

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方法一：

1?2i?1?i,可得：1?2i?(1?i)(a?bi)a?bi 即：1?2i?(a?b)?(a?b)i?1?a?b31???a?,b?22?2?a?b方法二：

1?2i(1?2i)(a?bi)(a?2b)2a?b???i,a?bi(a?bi)(a?bi)a2?b2a2?b2?(a?2b)?1?31?a2?b2???a?,b?22?2a?b?1??a2?b2

4.（2010·安徽高考理科·Ｔ１）i是虚数单位，i?（ ） 3?3iA、

13?i 412

B、

13?i 412C、

13?i 26D、

13?i 26【命题立意】本题主要考查复数的乘除法运算，考查考生的复数运算求解能力。 【思路点拨】

i为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数3?3i3?3i，然后利用复数的乘法运算，使分母实数化，进而求解。

【规范解答】选B，ii(3?3i)3?3i13????i ，故B正确

124123?3i(3?3i)(3?3i)5.（2010·浙江高考理科·Ｔ5）对任意复数z?x?yi?x,y?R?，i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）

222（A）z?z?2y （B）z?x?y

（C）z?z?2x （D）z?x?y 【命题立意】本题考查复数的运算及几何表示，考查运算推理能力。 【思路点拨】把z?x?yi代入四个选项验证。 【规范解答】选D。

z?x?yi，? z?z?2yi，?|z?z|?2|y|，?选项A不正确。

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易知选项C也不正确。

z2?(x?yi)2?(x2?y2)?2xyi，?选项B不正确。

|z|?x2?y2?x2?y2?2|x||y|?|x|?|y|，?选项D正确。

6.（2010·浙江高考文科·Ｔ3）设i为虚数单位，则(A)-2-3i

(B)-2+3i (C)2-3i

5?i?（ ） 1?i

(D)2+3i

【命题立意】本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题。 【思路点拨】复数相除时，分子分母同乘以分母的共轭复数。 【规范解答】选C。

5?i(5?i)(1?i)4?6i???2?3i。 1?i(1?i)(1?i)2a?2i?b?i（a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（ ） i7.（2010·山东高考理科·Ｔ２）已知

(A) -1 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【命题立意】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算.

【思路点拨】先根据复数的除法运算化简，再利用复数相等求出a,b再计算a?b. 【规范解答】选B。由所以a+b=1,故选B.

8.（2010·陕西高考理科·Ｔ2）复数z?a?2i?b?i得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知:a=-1,b=2, ii在复平面上对应的点位于（ ） 1?i （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【命题立意】本题考查复数的基本运算、复数的几何意义，属保分题。 【思路点拨】z?i(1?i)11i??i?对应的点位于第一象限. ?z?1?i(1?i)(1?i)22i(1?i)11i??i，所以z对应的点位于第一象限 ，所以z?1?i(1?i)(1?i)223?i=（ ） 1?i【规范解答】选A 。因为z?9.（2010·天津高考文科·Ｔ１）i是虚数单位，复数

(A) 1+2i (B) 2+4i (C) -1-2i (D) 2-i 【命题立意】本题主要考查复数的概念及运算能力． 【思路点拨】分母实数化。 【规范解答】选A，

3?i(3?i)(1?i)2?4i???1?2i,故选A。 1?i(1?i)(1?i)2- 3 -

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4?1?i?10.（2010·福建高考文科·Ｔ4）i是虚数单位，??等于（ ）

?1?i?A.i B.?i C.1 D.?1 【命题立意】本题考查复数的基本运算。

【思路点拨】先在分式的分子和分母同时乘以一个分母的共轭复数，即可化简。

2??1?i???1?i?【规范解答】选C，???i4?1。 ?????1?i????1?i??1?i??1?i1?i22?i,??i,?1?i??2i,?1?i???2i,等。 【方法技巧】一些常见的复数的运算应该记住，如：1?i1?i4411.（2010·广东高考理科·Ｔ2）若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=（ ） A．4 B. 2+ i C. 2+2 i D.3 【命题立意】本题主要考察复数的运算法则。 【思路点拨】利用复数的乘法法则进行运算。

【规范解答】选A.Z1?Z2?(1?i)?(3?i)?1?3?1?1?(3?1)i?4?2i. 故选A 12.（2010·安徽高考文科·Ｔ2）已知i??1，则i(1?3i)=（ ） (A)3?i (B)3?i (C)?3?i (D)?3?i

【命题立意】本题主要考查复数的乘法运算，考查考生的复数运算求解能力。 【思路点拨】直接展开，用i??1代换即可求解。 【规范解答】选B，i(1?3i)?i?3 ，故B正确。

13.（2010 ?海南高考?理科T2）已知复数z?223?i?1?3i?2，z是z的共轭复数，则z?z = ( )

（A）

11 （B） （C）1 （D）2 42【命题立意】本题主要考查复数的四则运算性质以及共轭复数的概念.解答本题的关键是准确应用相关的公式进行计算.

【思路点拨】先求出复数z，再求z?z. 【规范解答】选A. z?

3?i?1?3i?2?3?i(3?i)(1?3i)?3?i， ??4?2?23i?2(1?3i)(1?3i)- 4 -

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z=?3?i?3+i1?3?i.所以，z?z=?，故选A.

444414.（2010·江苏高考·Ｔ2）设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为_____. 【命题立意】本题考查复数的有关运算，及复数模的计算。

【思路点拨】先由条件z(2-3i)=6+4i，求得复数z，然后利用复数的模长公式求解。 【规范解答】由z(2-3i)=6+4i，得z?6?4i(6?4i)(2?3i)??2i, 2?3i(2?3i)(2?3i)即z?2i,?z?2.

【答案】2

【方法技巧】解答本题的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数的模长公式求解（如本题）。由于2-3i与3+2 i的模相等，所以本题也可作以下巧解： 由z(2-3i)=6+4i得，z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，?z?2.

15.（2010·北京高考理科·Ｔ9）在复平面内，复数

2i对应的点的坐标为 。 1?i【命题立意】本题考查复数的除法与复数的几何表示。 【思路点拨】分子分母同乘以分母的共轭复数，可计算出

2i

1?i。

2i2i(1?i)???1?i，在复平面上对应的点为(?1,1)。 【规范解答】（-1,1）， 1?i(1?i)(1?i) - 5 -