人教版九年级数学上册单元考试测试卷：第23章旋转（含 答案）

解：(1)证明：由题意，得AB＝AF，∠B＝∠F，∠BAC＝∠FAE，∴∠BAM＝∠FAN. ∠BAM＝∠FAN，??

在△ABM和△AFN中，?AB＝AF，

??∠B＝∠F，∴△ABM≌△AFN(ASA)．∴BM＝FN.

(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形． 理由：∵∠α＝30°，∴∠FAB＝120°.

∵∠B＝∠F＝60°，∴∠B＋∠FAB＝180°，∠F＋∠FAB＝180°. ∴AF∥BP，AB∥FP.

∴四边形ABPF是平行四边形． 又∵AB＝AF，∴四边形ABPF是菱形．

21．(本题8分)如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.

(1)求证：EF＝FM；

(2)当AE＝2时，求EF的长．

解：(1)证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM， ∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∠DCM＝90°. ∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°. ∴F，C，M三点共线．

∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°. DE＝DM，??

在△DEF和△DMF中，?∠EDF＝∠MDF，

??DF＝DF，∴△DEF≌△DMF(SAS)． ∴EF＝MF. (2)设EF＝MF＝x， ∵AE＝CM＝2，AB＝BC＝6， ∴EB＝AB－AE＝6－2＝4， BM＝BC＋CM＝6＋2＝8. ∴BF＝BM－MF＝8－x.

在Rt△EBF中，由勾股定理，得EB＋BF＝EF，即4＋(8－x)＝x，解得x＝5 ∴EF＝5.

22．(本题12分)问题情境：

两张矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB＝CE，AD＞AB. 操作发现：

(1)如图1，点D在GC上，连接AC，CF，EG，AG，则AC和CF有何数量关系和位置关系？并说明理由； 实践探究：

(2)如图2，将图1中的纸片CEFG以点C为旋转中心逆时针旋转，当点D落在GE上时停止旋转，则AG和GF在同一条直线上吗？请判断，并说明理由．

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解：(1)AC＝CF，AC⊥CF.理由如下：

∵矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB＝CE， ∴BC＝EF，∠B＝∠CEF＝90°. AB＝CE，??

在△ABC和△CEF中，?∠B＝∠CEF，

??BC＝EF，∴△ABC≌△CEF(SAS)． ∴AC＝CF，∠ACB＝∠CFE.

∵∠CFE＋∠ECF＝90°，∴∠ACB＋∠ECF＝90°.

∴∠ACF＝∠BCD＋∠ECG－(∠ACB＋∠ECF)＝90°＋90°－90°＝90°. ∴AC⊥CF.

(2)AG和GF在同一条直线上．理由如下： ∵矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB＝CE， ∴AD＝GC，CD＝CE，∠ADC＝∠GCE＝90°.

AD＝GC，??

在△ACD和△GEC中，?∠ADC＝∠GCE，∴△ACD≌△GEC(SAS)．

??CD＝EC，∴∠ACD＝∠GEC，AC＝GE.∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠DEC.∴∠ACD＝∠CDE. ∴GE∥AC.

∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG∥CE.

又∵矩形CEFG中，GF∥CE， ∴AG和GF在同一条直线上． 23．(本题12分)综合实践 问题情境

在综合实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD＝60°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD. 操作发现

(1)将图1中的△ABC以A为旋转中心，顺时针旋转角α(0°＜α＜60°)，得到如图2所示△ABC′，分别延长BC′和DC交于点E，发现CE＝C′E.请你证明这个结论；

(2)在问题(1)的基础上，当旋转角α等于多少时，四边形ACEC′是菱形？请你利用图3说明理由．

图1 图2 图3 解(1)证明：连接CC′. ∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ACD＝∠AC′B＝30°，AC＝AC′.∴∠ACC′＝∠AC′C.∴∠ECC′＝∠EC′C.∴CE＝C′E. (2)当α＝30°时，四边形ACEC′是菱形． 理由：∵∠DCA＝∠CAC′＝∠AC′B＝30°，

∴CE∥AC′，AC∥C′E.∴四边形ACEC′是平行四边形． 又∵CE＝C′E，∴四边形ACEC′是菱形．