高中数学32均值不等式例题与探究素材新人教B版5

3.2 均值不等式

典题精讲

例1 已知a、b、c是正实数，求证：

bcacab??≥a+b+c. abc思路分析：由于要证的不等式两边都是三项,而我们掌握的均值不等式只有两项,所以可以考

虑多次使用均值不等式.

证明：∵a、b、c是正实数， ∴

bcacbcacbcac?=2c（当且仅当，即a=b时，取等号）， ??2?abababacabacabacab，即b=c时，取等号）， ??2??2a（当且仅当?bcbcbcbcababbcabbc，即a=c时，取等号）. ??2?=2b（当且仅当?accaca上面3个不等式相加,得

bcacab?2??2?≥2a+2b+2c（当且仅当a=b=c时，取等号）. abcbcacab??∴≥a+b+c. abc2?绿色通道：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，直接推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，其逻辑关系是A?B1?B2?B3???Bn-1?Bn?B. （条件）??????????（结论）

其思路是“由因导果”，即从“已知”，推向已知的“性质”，从而逐步推向“未知”. 变式训练 已知a,b,c都是正实数，且a+b+c=1. 求证：3a?2?3b?2?3c?2?33.

思路分析：本题可看成求左边式子的最大值，把左边配成积的形式，同时对等号成立的条件进行估计.

逐步探求不等式成立的必要条件(3a?2)?3,

2(3b?2)?3同理,(3b?2)?3?,

2(3c?2)?3(3c?2)?3?,

2证明:(3a?2)?3?三个不等式相加，得

3(a?b?c)?6?9.

21整理，得3a?2?3b?2?3c?2?33（当且仅当a=b=c=时,等号成立）.

3(3a?2)?3?(3b?2)?3?(3b?2)?3≤

1

例2 x＜

38时，求函数y=x+的最大值. 22x?38并不是定值,也不能保证是正值,

2x?3183所以,必须使用一些技巧进行变形.可以变为y=（2x-3）++,再求最值.

22x?321833?2x83?解：y=（2x-3）++=-（）+，

22x?3223?2x23∵当x＜时，3-2x＞0，

2思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·∴

3?2x813?2x83?2x8?=4，当且仅当，即x=-时,取等??2?23?2x223?2x23?2x号. 于是y≤-4+

355=?，故函数有最大值?. 222绿色通道：本题的关键是根据分母,对整式变形，从而凑出定值，同时要兼顾到正数的前提，

当然本题也可作一个代换，如令3-2x=t，则t＞0，把y转化为关于t的函数，再求最值就显得简洁明了.

变式训练1 已知x＞0，y＞0且5x+7y=20，求xy的最大值.

思路分析：要注意均值不等式的正用和逆用，利用均值不等式求最值需三个条件：①正；②定；③相等.

115x?7y220?()?·5x·7y≤. 35273510当且仅当5x=7y，即x=2，y=时取等号.

720∴xy的最大值为.

7解：xy=

变式训练2 若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_____________. 思路分析：本题的条件中同时存在和与积的形式,而所求的为积的范围，所以保留积的式子，把积放在不等式中去考察，方法是均值不等式放缩.或者利用函数法来解决.

方法一：由ab=a+b+3≥2ab+3（等号成立条件为a=b），整理,得ab-2ab-3≥0，（ab-3）（ab+1）≥0.∴ab≥3，∴ab≥9. 方法二：由ab=a+b+3，可得b=

a?3a?3（a＞0，b＞0），∴a＞1，又ab=a·=［（a-1）a?1a?1+1］a?3a?3a?1?444=（a+3）+=a-1+4+?(a?1)??5?2(a?1)?5?9,a?1a?1a?1a?1a?1等号成立条件为a-1=答案：［9，+∞)

4，即a=3. a?1 2

例3 求y=

sinx2?（0＜x＜π）的最小值. 2sinx思路分析：在运用基本不等式求最值时，经常会出现不满足“正数、定值、等号”的情形，

这就要求通过分类、换元、凑配等方法与技巧，使问题转化为符合基本不等式的模型，对于等号取不到的情形，常要讨论函数的单调性，再作出判断.本题的关键是等号取不到时，通过代换，转化为研究新的函数的单调性，再求得原来函数的最值. 解：∵0＜x＜π，∴0＜sinx≤1.

sinx1，t∈（0，］，则sinx=2t，

22111∴y=t+（0＜t≤）.可证明函数y=t+,

2tt1当t∈（0，］时为减函数.

21sinx1?∴当t=，即=，sinx=1，x=时，

2222155y有最小值2+=.∴ymin=.

222设t=

黑色陷阱：本题易忽略等号成立的条件,而得出错误的解法和答案:∵0＜x＜π，∴0＜sinx≤1.∴y=

sinx2sinx2=2.∴ymin=2. ??2?2sinx2sinxx2?2x?a变式训练 已知函数f（x）=，x∈［1，+∞).

x（1）当a=

1时，求函数f（x）的最小值； 2（2）若对任意x∈［1，+∞)，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.

思路分析：把均值不等式与函数结合，是求函数最值的有效途径，（1）中当等号不成立时，通过研究函数的单调性求最小值.（2）中恒成立问题可转化为函数的最值问题，注意合理转化.

（1）解：当a=

11?2， 时，f（x）=x?22x7. 2∵f（x）在区间［1，+∞）上为增函数， ∴f（x）在区间［1，+∞）上的最小值为f（1）=

x2?2x?a2

（2）解法一：在区间［1，+∞）上，f（x）=＞0恒成立?x+2x+a＞0恒成

x立.

2

设y=x+2x+a，

22

则y=x+2x+a=（x+1）+a-1在x∈［1，+∞）上递增， ∴当x=1时，ymin=3+a.

于是只需3+a＞0时，函数f（x）恒成立，故a＞-3.

3

解法二：f（x）=x?a?2，x∈［1，+∞）， x当a≥0时，函数f（x）的值恒为正，当a＜0时，函数f（x）递增，

故当x=1时，f（x）min=3+a，于是只需3+a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故a＞-3.

x2?2x?a2

解法三：在区间［1，+∞)上,f（x）=＞0恒成立?x+2x+a＞0恒成立?a＞

x-x-2x恒成立. 又∵x∈［1，+∞),

2

∴a应大于u=-x-2x，x∈［1，+∞)的最大值,

2

∴a＞-（x+1）+1，x=1时u取得最大值-3， ∴a＞-3.

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例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m，深为3 m，如果池底每1 m

2

的造价为150元，池壁每1 m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元? 思路分析：利用均值不等式解决有关的应用题主要是建立数学模型,构造函数及定值,然后求最值,这里主要是建立造价的函数表达式.

解：设水池底面一边的长度为x m，另一边的长度为d m，则d=又设水池总造价为y元.

2

4800. 3x48004800+120（2×3x+2×3×） 33x16001600=240 000+720（x+）≥240 000+720×2x·=297 600，

xx1600当且仅当x=，即x=40时，y取得最小值297 600.

x根据题意，得y=150×

答:水池底面一边长40 m时,总造价最低为297 600元.

绿色通道：实际应用问题的求解方法：①建立目标函数；②求目标函数的最值.注意根据条件和要求的结论设变量.还要注意求最值时的三个条件.

如果等号成立的条件不成立，则应该从函数的性质入手，考虑函数的单调性.

2

变式训练 设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm,画面的宽与高的比为λ(λ＜1),画面的上、下各留8 cm的空白，左、右各留5 cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［

23,］，那么λ为何值时，能使宣传34画所用纸张面积最小？

思路分析：建立数学模型，把问题转化为函数的最值问题来解决，主要是用均值不等式及函数的性质相结合求函数最小值.

22

解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx=4 840,设纸张面积为S cm,则S=(x+16)(λx+10)=λx+(16λ+10)x+160,将

2

x=

2210?代入上式,得S=5

000+4410(8??5?),当8??5?,即λ=

55(＜1)时,S取得最小值.此时高88 4

x=

4840? =88 cm,宽λx=

5×88=55 cm. 8如果λ∈［

2323,］,可设≤λ1＜λ2≤,则由S的表达式,得 3434S(λ1)-S(λ2)=4410(8?1?5?1?8?2?5?2)?4410(?1??2)(8?5?1?2).

又?1?2?255?,故8?＞0. 38?1?2∴S(λ1)-S(λ2)＜0.

23,］内单调递增. 34232从而对于λ∈［,］,当λ=时，S(λ)取得最小值.

343∴S(λ)在区间［

答：画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［

232,］,当λ=343时，所用纸张面积最小.

问题探究

问题 某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第n层楼时，环境不满意程度为第几层楼？

导思：解本题的关键是基本不等式的应用. 探究：设不满意程度为y.由题意知，y=n+

8.则此人应选n8. n∵n+

88?2n??42. nn8,即n=22时取等号. n当且仅当n=

但考虑到n∈N+，∴n≈2×1.414=2.828≈3. 答：此人应选3楼，不满意度最低.

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