材料力学 - 陈振中 - 习题第三章扭转

第三章 扭转

3．1 作图示各杆的扭矩图。 （a）解： mm

T1 1

1 1)求 1-1截面上的扭矩

假设T1为正，方向如上图所示。 由 ∑m=0 T1+m+m=0

得T1= -2m， 所以其实际为负。

T 2 m 2 2 2)求 2-2截面上的扭矩

假设T2为正，方向如上图所示。 由 ∑m=0 T2 +m=0

得T2= -m， 所以其实际为负。 （b）解：

m

1 T1

1 1)求 1-1截面上的扭矩

假设T1为正，方向如上图所示。 由 ∑m=0 T1+m =0

得T1= -m， 所以其实际为负。

m3m 2 T2

2 2)求 2-2截面上的扭矩

假设T2为正，方向如上图所示。 由 ∑m=0 T2+m-3m=0 得T2= 2m， 所以其实际为正 （c）解：

1 10KN.m 15KN.m 30kN.m T1

1 20KN.m 1)求 1-1截面上的扭矩

假设T1为正，方向如上图所示。 由 ∑m=0 T1-10-15-20+30=0

得T1= 15KN.m， 所以其实际为正。

（a） mm 题3.1图 T m 2m（b） m3m 题3.1图 2m T

m

1

30kN.m 2 15KN.m （c） T2 10KN.m 15KN.m 30kN.m

20KN.m 2

20KN.m 2)求 2-2截面上的扭矩

题3.1图 假设T2为正，方向如上图所示。

由 ∑m=0 T2-15-20+30=0

得T2= 5KN.m， 所以其实际为正。

30kN.m

3

T3 15KN.m T 3 20KN.m

3)求 3-3截面上的扭矩 5KN.m 假设T3为正，方向如上图所示。 由 ∑m=0 T3-20+30=0

得T3= -10KN.m， 所以其实际为负。

4 30kN.m

10KN.m T4 4 4)求 4-4截面上的扭矩

假设T4为正，方向如上图所示。

30KN.m 由 ∑m=0 T4 +30=0

得T4= -30KN.m， 所以其实际为负。

3.2 T为圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的剪应力分布图。

T T T

解： T T T

（c） （a） （b）

题3.2图

3.5 D=50mm直径的圆轴，受到扭矩T=2.15KN.m的作用。试求在距离轴心10mm处的剪应力，并求轴横截面上的最大剪应力。

2

解：求距离轴心10mm处的剪应力， 由 IP=πD4/32=π×0.054/32=6.13×10-7 m4 Wt= IP/R=6.13×10-7/0.025=2.454×10-5 m3

τρ=Tρ/ IP=2.15×103×10×10-3/(6.13 ×10-7 ) =35MPa

求轴横截面上的最大剪应力

τmax=T/ Wt=2.15×103/(2.454 ×10-5 ) =87.6MPa

3.8 阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm，d2=70mm，轴上装有三个皮带轮，如图所示。已知由轮3输入的功率为N3=30kW，轮1输出的功率为N1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的剪切许用应力[τ] =60MPa，G=80GPa，许用扭转角[φ] =2o/m。试校核轴的强度和刚度。

解：计算扭矩大小

m2 2 m3 3 m1 1AD段 T1= m1=9549N1 / n B D C A 1 =9549×13 /200=621N.m

DB段 T2= m3=9549N3 / n

0.5m 0.3m 1m =9549×30 /200=1432N.m

强度校核

AC段 τmax= T1 / Wt 1= 16 T1 / (πd31) 题3.8图

3-6

=16×621/(π×4×10) =49.4 MPa<[τ]

DB段 τmax= T2 / Wt 2= 16T2 /(πd32)

=16×1432/(π×73×10-6) =21.3 MPa<[τ]

CD段和AC段相比： 扭矩相同，而 dCD > dAC, 故CD段最大剪应力τmax小于剪切许用应力[τ]。

故强度满足 刚度校核

AC段 φmax= 180T1 / (πG IP 1)= 32×621×180 / (π2×80×109×44×10-8 )= 1.77 o/m<[φ] DB段 φmax= 180T2/ (πG IP 2)= 32×1432×180 / (π2×80×109×74×10- 8 )= 0.44o/m<[φ] CD段和AC段相比：扭矩相同，而 dCD > dAC, 故CD段最大扭转角φmax小于许用扭转角[φ]。

故刚度满足

3.14 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮1输入的功率为N1=500马力，从动轮2和3分别输出的功率为N2=200马力，N3=300马力。已知[τ] =70MPa，[φ] =1o/m， G=80GPa。 (1) 试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。

(2) 若AB和BC两段选用同一直径， 试确定直径d。 (3) 主动轮和从动轮应如何安排才比较合理？

解：(1) 确定轴径 计算扭矩大小

AB段 T1= m1=7024N1 / n

N1 =7024×500 /500=7024N.m N3 N2 BC段 T2= m3=7024N3 / n A B C =7024×300 /500=4214.4N.m 2 3 1 设计AB段轴径 按强度条件

τmax= T1 / Wt 1= 16 T1 / (πd31) ≤ [τ]

400 500 得 d1≥[16×7024/(π×70×106) ]1/3=79.95mm

按刚度条件

题3.14图 φmax= 180T1 / (πG IP 1)= 32×180×T1 / (π2G d41)≤[φ]

d2 d1

3

d1≥[32×180×7024 / (π2×80×109×1) ]1/ 4=84.6mm 故应按刚度条件取轴径 d1=84.6mm 设计BC段轴径 按强度条件 d2≥[16×4214.4/(π×70×106) ]1/3=67.4mm

按刚度条件 d2≥[32×180×4214.4 / (π2×80×109×1) ]1/ 4=74.5mm

故应按刚度条件取轴径 d2=74.5mm

(2) 若AB和BC两段选用同一直径则应取d=84.6mm。

(3) 主动轮应放在两个从动轮之间才比较合理（因为这样可使轴的扭矩减小）。

3.17 由厚度t=8mm的钢板卷制成的圆筒，平均直径为D=200mm。接缝处用铆钉铆接（见图）。若铆钉直径d=20mm，许用剪应力[τ] =60MPa ,许用挤压应力 [σbs] =160MPa，筒的两端受扭转力偶矩m=30KN.m作用，试求铆钉的间距s。 s

题3.17图

解：(1) 计算圆筒横截面上的剪应力τ

τ= m/ (2πr2t) =30×103/(2π×1×10-2×8×10-3)=59.68 MPa

′

由剪应力互等定理，圆筒纵截面上的剪应力τ =τ=59.68 MPa (2) 按铆钉剪切,挤压强度条件求铆钉的间距s

′

剪切强度条件 τ1= Q / A= 4stτ/ (πd2)≤[τ]

′

s≤πd2 [τ] /(4tτ) =π×4×10-4×60×106/(4×8×10-3×59.68×106) =39.5mm

′

挤压强度条件 σbs = P / Abs= stτ/ (td) ≤[σbs]

′

s ≤[σbs] td / (tτ)= 2×10-2×160×106/(59.68×106) =53.6mm 故铆钉的间距s≤39.5mm

′

3.22 钻头横截面直径为20mm，在顶部受均匀的阻抗扭矩mN·m/m的作用，许用剪应力[τ]=70MPa。(1) 求许可的m。(2) 若G=80GPa，求上端对下端的相对扭转角。 解：(1) 求任意横截面扭矩大小 T=m (0.1m≤x<0.3m)

′

T= x·m (0≤x<0.1m) 显然各横截面扭矩绝对值最大值为Tmax = m (2 ) 求许可的m 按强度条件

mτmax= Tmax / Wt =16m / (πd3) ≤ [τ]

m≤π×70×106×23×10-6/16=110N.m 许可的m=110N·m

′ ′

由 m= 0.1×m得m= 1100 N·m/m

x (3) 求上端对下端的相对扭转角υ

′m由各横截面扭矩符号相同

0.1 0 ′ - x·mdx

得υ=0.2m / (G IP)+ 题3.22图 G IP 0

= 0.2×110×32 / (π×80×109×24×10-8) +0.5×0.01×1100×32 / (π×80×109×24×10-8) =0.022 rad

200 100 ∫ 4