第二章导数与微分 高等数学同济大学第六版

函数的和、差、积、商的求导法则 '''(u?v)?u?v 函数的和、差、积、商的微分法则 d(u?v)?du?dv d(Cu)?Cdu d(uv)?vdu?udv ?u?duv?udvd???(v?0) 2v?v?''(Cu)?Cu '''(uv)?uv?uv uv?uv?u??(v?0) ??2vv??''' 五、微分形式不变性：

无论u是自变量还是复合函数的中间变量, 函数y?f(u)的微分形式总是可以按微分定义的形式来写，即有

dy?f?(u)du

这一性质称为微分形式的不变性. 利用这一特性，可以简化微分的有关运算. 六、利用微分进行近似计算：

' 当f(x0)?0时，有

lim?ydy?x?0?lim?yf(x0)?x'?x?0?1f(x0)'?x?0lim?y?x?1

从而，当?x?0时，?y与dy是等价无穷小，这时有 ?y?dy?o(dy)

'即dy是?y的线性主部。又由于dy?f?(x)?x是?x的线性函数，所以在f(x0)?0的条

'件下，我们说dy是?y的线性主部（当?x?0时）。于是我们得到结论：在f(x0)?0的

条件下，以微分dy?f?(x)?x近似代替增量?y?f(x0??x)?f(x0)时，其误差为o(dy)。因此，在?x很小时，有近似等式：

?y?dy. (5)

例题选讲：

微分的定义

3例1求函数y?x当x?2，?x?0.02时的微分. 解：先求函数在任一点的微分

dy?f?(x)?x?(x)?x?3x?x 再求函数当x?2，?x?0.02时的微分 dyx?2?x?0.023'2?3x?x2x?2?x?0.02?3?2?0.02?0.24

22例2 求函数y?x在x?1和x?3处的微分.

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解： 函数y?x2在x?1处的微分为

dy2x?1?(x)'x?1?x?2?x;

在x?3处的微分为 dy2x?3?(x)'x?3?x?6?x.

基本初等函数的微分公式与微分运算法则的应用

例3 设y?xsin2x, 求dy.

解： dy?d(xsin2x?)sinx2d?xxd(s inx sinx2dx?2xcosx2d?x(si?nx2x2c oxsdx例4 求函数y?e1?3xcosx的微分. 解：应用积的微分法则，得

dy?d(1?e3xcosx?)cosxd1?(xe3?)?1xe3d(c oxs) ?(coxse1)?3x?(dx3?e)?1x3?(xsdxin

) ??e1?3x(3cosx?sinx)dx 微分形式的不变性

例5 求函数y?sin(2x?1)的微分.

解：把2x?1看成中间变量，则 dy?d(sinu?)cousd?ucos?(x2d1)?x (2 ?cos(x2?1?)dx2?2coxs?(2d x例6 设y?ln2(1?x), 求dy.

解： dy?2ln(?1xd)ln?(1x?)2?lnx?11(?1?x) dx ?2x?1ln(?1xd)x

例7 已知y?x 求dy.

x2,?122解： dy?x?1dx?xd(x?1)＝

dx(x2?1)23

(x2?1)2例8 在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.

(1) d()?xdx; (2) d()?cos?xdx;

解：（1） 我们知道，

d(x2)?2xdx;

可见，xdx?12x22d(x)?d(2);

即 d(x22)?xdx;

（2）因为

d(si?nx?)?co?sxd x可见，cos?xdx?11?d(sin?x)?d(?sin?x);

即 d(1?si?nx?)c?osxd x;

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一般地，有 d( si?nx?C?)c?osxdx (C为任意常数)。

? 利用微分进行近似计算

例9 有一批半径为1厘米的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01厘米，估计一下每只球需用铜多少克？（铜的密度为8.9g/cm）？

解：先求出镀层的体积，再乘上密度就得到每只球需用铜的质量。

因为镀层的体积等于两个球体体积之差，所以它就是球体体积V?得增量?R时得增量?V。我们求V对R的导数：

43'2 V'?(?R)?4?R，

R?R03R?R0于是 ?V?4?R02?R

将 R?1，?R?0.01代入上式，得

?V?4?3.14?12?0.01?0.13(cm3) 于是镀每只球需用的铜约为 0.1?38?.91g.1 6例10 计算sin30?30?的近似值. 解：把30?30?化为弧度，得

??? 303?0??6431?R当R自R0取

3360

由于所求的是正弦函数的值，故设f(x)?sinx.此时f'(x)?cosx.如果取x0?则f(?6)?sin?6,

?6?12?'?与f()?cos?66?32?)都容易计算，并且?x?sin?6?360比较小，所以有：

? sin3?0?3?0sin(?6?360co?s 6360?? ?12?32??360?0.5000?0.0076?0.5076

例11计算1.05的近似值.

??10. 05解： 1.05这里x?0.05，其值较小，利用近似公式，得

课堂练习

1.05??112?0.0?51 .0251. 求函数y?arcsin1?x2的微分dy. 解： dy?(arcsin1?x)dx?122'11?(1?x)22?(1?x)dx

2' ???2x2dx

1?(1?x)21?x 23

dx?,?21x?1?x ???dx??2dxx1?x??,2?1?x??1?x?0

0?x?12. 当x较小时, 证明下列近似公式： （1）ln(1?x)?x； （2）

11?x?1?x.

'x?1解：（1） ln(1?x)?ln1?(lnx) （2）

11?x?1'?()1x1?x?1x21xx?1?x?x ?x?1?x

?x?1?x?1x?1本章小结：本章主要讨论了：

（1） 导数和微分的概念；

(2 ) 用导数定义和运算法则求导数：1）正确使用导数及微分公式和法则；2）熟练掌握求导方法和技巧：求分段函数的导数，注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等；求绝对值函数的导数，首先去掉绝对值符号，将函数用分段函数表示后再求导；对复合函数，求导时要由表及里，逐层求导，不要漏层；3) 幂指函数的导数要用对数求导法计算，而对数求导法还可以简化为由若干个函数连乘、连除、根式、乘幂形式所构成的函数的求导； （3） 高阶导数的计算（求函数的n阶导数的方法）：1）直接法：求出函数的前几阶导数，分析所得的结果，找出规律性，然后写出n阶导数的表达式，再用数学归纳法证明；2）间接法：将给定的函数通过化简（一般化积为和差）或变量替换转换为熟知的高阶导数的函数求导(也可以利用泰勒公式求在某点的各阶导数值)；3）利用莱布尼兹公式[u(x)v(x)](n)； （4） 微分在近似计算与误差估计中的应用

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