第二章导数与微分 高等数学同济大学第六版

y(n)?(ex)n()x?e

例6求幂函数y?x?,?为任意常数的n阶求导公式. 解： y???x??1,

y????(??1)x??2，

??32x)

y?????(??1)?(?一般地有 y(n)??(??1)(??2)?(??n?1)x??n

例7求y?ln(1?x)的n阶导数. 解： y?ln(?1x，) y?? y????1?2(1?x)311?x， y????1?2?31(1?x)2

， y(4)??(n(1?x)?n4

一般地， y(n)?[ln(?1x例8 设y?x2e2x, 求y(20).

)]??()(1n?1)! 1)n(1?x)解： 设u?e2x，v?x2，则

u(k)?2ke2x，

v??2x， v???2， v(k)?0(k?3,4?,代入莱布尼茨公式，得 y(20)2 0220?192!x182?(xe2x)2(20)?2ex20?x?22?02e2x?x?219e2? 2 ?220ex2(x?20x?9 5)2例9 设f??(x)存在，求y?f(x2)的二阶导数 解： y??2xf?(2x)

222 y???2f?(x)?4xf??(x )

课堂练习

1. 求函数y?xcosx的二阶导数.

2.设函数y?10，求yx(n)(0).

?ax2?bx?c, 3. 设f(x)???ln(1?x),x?0x?0，在点x?0处有二阶导数，试确定a,b,c的值.

第四节 隐函数的导数 对数求导法

参数方程表示的函数的导数

本节主要内容

1 隐函数的导数

2 对数求导法

3 由参数方程所确定的函数的导数 4 极坐标表示的曲线的切线 5 相关变化率

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讲解提纲：

一、隐函数的导数

假设由方程F(x,y)?0所确定的函数为y?y(x)，则把它代回方程F(x,y)?0中，得到恒等式

F(x,f(x))?0

dydx利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导数是隐函数求导法.

，这就

二、 对数求导法：形如y?u(x)v(x)的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法. 三、参数方程表示的函数的导数

设??x??(t)?y??(t)，x??(t)具有单调连续的反函数t???1(x), 则变量y与x构成复合函数

dy关系y??[??1(x)]. 且

dy?dt. dxdxdt 四、 极坐标表示的曲线的切线

设曲线的极坐标方程为

r?r(?).

利用直角坐标与极坐标的关系 x?rcos?，y?rsin?，可写出其参数方程为

?x?r(?)sin?， ?y?r(?)sin??其中参数为极角?. 按参数方程的求导法则，可得到曲线r?r(?)的切线斜率为 y??dydx??y??x??r?(?)sin??r(?)cos?r?(?)cos??r(?)sin?.

五、相关变化率： 设x?x(t)及y?y(t)都是可导函数, 如果变量x与y 之间存在某种关系, 则它们的变化率

dxdt与

dydt之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变

化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率.

例题选讲：

隐函数的导数

例1 求方程e?e?xy?0 所确定的隐函数y的导数 解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y?y(x) 方程左边对x求导得

ddx(e?e?xy)?eyyydydx?y?xdydx

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方程右边对x求导得 (0?)? 0由于等式两边对x的导数相等，所以 eydydydx?y?xdx?0

从而

dydx??yx?ey,(x?ey?0 )例2求由下列方程所确定的函数的二阶导数.

x?y?12siny?0

解：应用隐函数的求导方法得 1?y??12cosy??y? 0于是 y??22?coys

上式两边再对x求导，得

y????2siny?y??4siny(2?cosy)2?(2?cosy)3 2例3 求方程

x216?y9?1在点M(2,323)处的切线方程.

解：由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为

k?y?x?2

椭圆方程的两边分别对x求导，有

x8?29y?y??0

从而 y???9x16y

当x?2时，y?323，代入上式

k?y?3x?2??4 于是所求的切线方程为 y?323??34(x?2)

即

3x?4y?83? 0例4 求由方程y5?2y?x?3x7?0所确定的隐函数在x?0处的导数 解： 方程的两边分别对x求导，有

5y4y??2y??1?21x6?0 由此得

6 y??1?21x5y4?2

因为当x?0时，从原方程得y?0，所以 y?1x?0?2

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对数求导法

例5 设 y?xsinx(x?0), 求 y?.

解： 这函数是幂指函数，为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得 lny?sin x?lxn上式两边对x求导，有

11y??cosxlnx?sinx? yx 于是， y??y(cosxlnx?1six?n?x)sixn(coxslxn?1sxi?n )x例6 设y?(x?1)(x?2), 求 (x?3)(x?4)y?.

解：先在两边取对数（假定x?4），得 lny?12[lnx(?1?)xln?(?2)xl?n(?上式两边对x求导，有

111111yy??2(x?1?x?2?x?3?x?4)

于是 y??y12(x?1?1x?2?1x?3?1x?4)

当x?1时， y?(1?x)(?2x(3?x)(?4x

))当2?x?3时， y?(x?1)(x?2)(3?x)(4?x)

用同样的方法可得与上面相同的结果。

参数方程表示的函数的导数

例7 求椭圆方程 ?x?acost? 在t??的切线方程.

?y?asint4解： 当t??4时，椭圆上的相应点M0的坐标是：

x?a20?acos4?2

y?b20?bsin4?2

曲线在点M0的切线的斜率为：

dy(bsint)?bcostdx?t??(acost)????b4t???asintt??a44代入点斜式方程即得椭圆在点M0处的切线方程： y?b22??ba(x?a22)

化简后得

ba?ay?2ab?0

x3x)? ln(4)]16