第二章导数与微分 高等数学同济大学第六版

解：当x?0时， f'f(x)?f(0)?(0)?lim?limsinx?1

x??0xx??0x f'f(x)?f(0)?(0)?limx?0?limx?1

x??0x??0x由f'?(0)?f'?(0)?1知f'?0??1

?cosx,x?0故f'?x????1,x?0，即f'?x???cosx,x?0???1,x?0?1,x?0

例10 已知f(x)???x2,x?0，求f''x,x?0?(0),f?(0)

??解： f'f(x)?f(0)?x?0?(0)?limx?lim??1

x??0x??0x2 f'(0)?f(x)?f(0)x??x?l?i0mx?0?x??l0imx?0?x?0xl?im 0由于f'?(0)?f'?(0),所以f'(0)不存在。

例11 讨论函数f?x??sinx在x?0处的连续性与可导性. 解：因为limf(x)?lim??0sinx?0

x??0x lim??0f(x)?limx??0(?sinx)?0

x f(0)?sin?0 0所以xlim??0f(x)?xlim??0f(x)?f(0)，于是f?x??sinx在x?0处连续

f'f(x)?f(0)?(0)?limx?lim?sinx?0??1

x??0x??0x f'limf(x)?f(0)?limsinx?0?(0)?x?0x?1

x??0x??0由于f''?(0)?f?(0),所以f?x??sinx在x?0处不可导。

?例12 讨论f(x)???x2sin1x,x?0在x?0处的连续性与可导性.

??0,x?0解：因为limf(x)?limx2sin1?0?f(0)x?0x?0x

所以函数在x?0处连续。 21又由f'(0)?limf(x)?f(0)xsinx?01x?0x?limx?0x?limx?0xsinx?0

所以函数在x?0处可导。 例13设函数f?x????x2,x?1a1?ax?b,x?1,问,b取何值时，f?x?在x?连续且可导.

解： f(1?0)?xlim?1?0f(x)?limx2x?1?0?1；

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f(1?0?)x?1?0limfx?()x??10axlim?b(?a?b)

要使f?x?在x?1连续，必须有f(1?0)?f(1?0)，这时有 a?b?1 又f(1)?limx?1f(x)?f(1) f?'(1)?lim?x?1?0x?1x?1?0'?f(x)?f(1)?limx?12x?1?0x?x?1a?x?b1lim??10x?1?2

?x??axalim?a 1x0?1要使f?x?在x?1可导，必须有f?'(0)?f?'(0),这时有a?2，再由a?b?1有b??1。 故当a?2，b??1时，f?x?在x?1连续且可导

注：由上述例题可知，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.

在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年

得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子(如第十一章第一节的Koch雪花曲线描述的函数)，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.

课堂练习

1. 函数f(x)在某点x0处的导数f?(x0)与导函数f?(x)有什么区别与联系? 2. 设?(x)在x?a处连续, f(x)?(x?a)?(x), 求f?(a). [f?(a)＝limf(x)?f(a)x?ax?a?lim(x?a)?(x)?(a?a)?(a)x?ax?a

?x(?)?a(] ) ?limx?a

''3. f(x0)是否等于[f(x0)]？ (不等于)

莱布尼茨 （Friedrich , Leibniz，1597~1652）

-----博学多才的数学符号大师

出生于书香门第的莱布尼兹是德国一们博学多才的学者。他的学识涉及哲学、历史、语言、数学、生物、地质、物理、机械、神学、法学、外交等领域。并在每个领域中都有杰出的成就。然而，由于他独立创建了微积分，并精心设计了非常巧妙而简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世。莱布尼兹对微积分的研究始于31岁，那时他在巴黎任外交官，有幸结识数学家、物理学家惠更斯等人。在名师指导下系统研究了数学著作，1673年他在伦敦结识了巴罗和牛顿等名流。从此，他以非凡的理解力和创造力进入了数学前沿阵地。

莱布尼兹在从事数学研究的过程中，深受他的哲学思想的支配。他的著名哲学观点是单子论，认为单子是“自然的真正原子??事物的元素”，是客观的、能动的、不可分割的精神实体。牛顿从运动学角度出发，以“瞬”（无穷小的“0”）的观点创建了微积分。他说dx和x相比，如同点和地球，或地球半径与宇宙半径相比。在其积分法论文中，他从求曲线所围面积积分概念，把积分看作是无穷小的和，并引入积分符号

?，它是把拉丁文“Summa”

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的字头S拉长。他的这个符号，以及微积分的要领和法则一直保留到当今的教材中。莱布尼兹也发现了微分和积分是一对互逆的运算，并建立了沟通微分与积分内在联系的微积分基本定理，从而使原本各自独立的微分学和积分学成为统一的微积分学的整体。

莱布尼兹是数字史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师。他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动，”正象印度——阿拉伯数学促进算术和代数发展一样，莱布尼兹所创造的这些数学符号对微积分的发展起了很大的促进作用。欧洲大陆的数学得以迅速发展，莱布尼兹的巧妙符号功不可灭。除积分、微分符号外，他创设的符号还有商“a/b”，比“a:b”，相似“∽”，全等“≌”，并“∪”，交“?”以及函数和行列式等符号。

牛顿和莱布尼茨对微积分都作出了巨大贡献，但两人的方法和途径是不同的。牛顿是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上，运用分析学方法引进微积分要领的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣精深；但莱布尼兹的表达形式简洁准确，胜过牛顿。在对微积分具体内容的研究上，牛顿先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹则先有求积概念，后有导数概念。除此之外，牛顿与莱布尼兹的学风也迥然不同。作为科学家的牛顿，治学严谨。他迟迟不发表微积分著作《流数术》的原因，很可能是因为他没有找到合理的逻辑基础，也可能是“害怕别人反对的心理”所致。但作为哲学家的莱布尼兹比较大胆，富于想象，勇于推广，结果造成创作年代上牛顿先于莱布尼兹10年，而在发表的时间上，莱布尼兹却早于牛顿三年。

虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异，但殊途同归。各自独立地完成了创建微积分的盛业，光荣应由他们两人共享。然而在历史上曾出现过一场围绕发明微积分优先权的激烈争论。牛顿的支持者，包括数学家泰勒和麦克劳林，认为莱布尼兹剽窃了牛顿的成果。争论把欧洲科学家分成誓不两立的两派：英国和欧洲大陆。争论双方停止学术交流，不仅影响了数学的正常发展，也波及自然科学领域，以致发展到英德两国之间的政治摩擦。自尊心很强的英国民族抱住牛顿的概念和记号不放，拒绝使用更为合理的莱布尼兹的微积分符号和技巧，致使英国在数学发展上大大落后于欧洲大陆。一场旷日持久的争论变成了科学史上的前车之鉴。

莱布尼兹的科研成果大部分出自青年时代，随着这些成果的广泛传播，荣誉纷纷而来，他也越来越变得保守。到了晚年，他在科学方面已无所作为。他开始为宫廷唱赞歌，为上帝唱赞歌，沉醉于研究神学和公爵家族。莱布尼兹生命中的最后7年，是在别人带给他和牛顿关于微积分发明权的争论中痛苦地度过的。他和牛顿一样，都在终生未娶。1761年11月14日，莱布尼兹默默地离开人世，葬在宫廷教堂的墓地。

戎马不解鞍，铠甲不离傍。

冉冉老将至，何时返故乡？ 神龙藏深泉，猛兽步高冈。 狐死归首丘，故乡安可忘！

第二节 函数的求导法则

要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一

点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠

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实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少

人的思维活动.

-------F. 莱布尼茨

求函数的变化率——导数，是理论研究和实践应用中经常遇到的一个普遍问题. 但根据定义求导往往非常繁难，有时甚至是不可行的. 能否找到求导的一般法则或常用函数的求导公式，使求导的运算变得更为简单易行呢？从微积分诞生之日起，数学家们就在探求这一途径. 牛顿和莱布尼茨都做了大量的工作. 特别是博学多才的数学符号大师莱布尼茨对此作出了不朽的贡献. 今天我们所学的微积分学中的法则、公式，特别是所采用的符号，大体上是由莱布尼茨完成的.

本节主要内容

1 导数的四则运算法则

2 反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

3 复合函数的求导法则

4 初等函数的求导法则：

5 双曲函数与反双曲函数的导数

讲解提纲：

一、 导数的四则运算法则：

定理1 如果函数u?u(x)及v?v(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且 （1） ?u(x)?v(x)??u(x)?v(x)；

'''（2） ?u(x)v(x)??u(x)v(x)?u(x)v(x)；

'''?u(x)?u(x)v(x)?u(x)v(x)?（3） ? (v(x)??2v(x)v(x)??'''0 )二、 反函数的导数：

定理2 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

三、复合函数的求导法则

定理3 若函数u?g(x)在点x处可导, 而y?f(u)在点u?g(x)处可导, 则复合函数y?f[g(x)]在点x处可导, 且其导数为

dydxdydxdydududx?f?(u)?g?(x)

或

??

注: 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 这一法则又称为链式法则.

复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确

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