2019年四川省成都市树德中学自主招生数学试题含答案

2019年四川省成都市树德中学自主招生数学试题

一、选择题

1.当a?1时，化简?a3?1?a?的结果是（ ） A. a?a?1? x2?x?2B. ?aa?a?1? C. aa??a? D. ?aa??a?

2.满足?2?x?A. 3

?1的所有实数x的和为（ ）

B. 4

C. 5

D. 6

3.五张如图所示的长为a，宽为b?a?b?的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形ABCD中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（ ）

A. a?2b B. a?3b C. 3a?2b D. 2a?3b?1

4.如图ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，?ABC?40?，?BCA?80?，则

?OED的大小为（ ）

A. 15? B. 18? C. 20?

D.

22?

5.如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列形状，第1幅图形中“·”的个数为a1，

1111?+?…?第2幅图形中“·”的个数为a2，第3幅图形中“·”的个数为a3，…，以此类推，则的a1a2a3a20值为（ ）

A.

20 21B.

61 84C.

589 840D.

325 4626.如图，AB=2，∠B=60°，M为AB菱形ABCD中，中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D

的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP 2=y，则表示y与x的函数关系的图象大致为（ ）

A. B. C.

7.某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女队员各一人，组成年级混合双打代表队，那么四对混合双打中，没有一队选手是同班同学的概率是（ ） A.

5 12B.

4 9C.

8.如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（ ）

的

D.

3 8D.

2 5

A.

3? 2B.

3? 3C.

3? 4D.

3? 69.设a、b、c为实数，且a?0，抛物线y?ax2?bx?c，顶点在y??2上，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，当ABC为直角三角形时，SA. 1 10.设M?A. 61

B.

ABC的最大值是（ ）

C. 3

D. 4

3

11111???…?，则的整数部分是（ ） 2018201920202050MB. 62

C. 63

D. 64

二、填空题

－y?的最大值为_____． 11.已知x，y都是非负数，且满足x2?2xy?y2?x?y?12?0，则x?112.已知a2?a?1?0，则a8?7a?4?_____．

13.如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交与点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上，若AB?6，则OB的长为_____．

14.已知a、且a2?ab?b2?5．若a2?ab?b2的最大值是m，最小值是n，则m?n的值是______． b是实数，15.如图，菱形ABCD中，AB?2，?C?60°，菱形ABCD在直线L上向右作无滑动

翻滚，每绕着一

个顶点旋转60?叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为______（．结果保留?）

16.如图，平行四边形ABCD中，AB:BC?4:3，?ABC?120?，E是AB的中点，F在BC上，且

BF:FC?2:1，过D分别作DG?AF于G，DGCE于H则DG:DH?_______．

三、解答题

的a4?ma2?117.（1）已知a?4a?1?0，且3?5，求m23a?ma?3a2值．

（2）解方程：2x2?3x?2xx2?3x?3?1．

18.一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A距公路30km的地方有一居民点B，A、B之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是

60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应在公路上行驶多少千米?全部所用的行车时间最

短?最短时间为多少?

B?n,0?，C?0,p?，O为坐标原点．19.已知m，n，p为正整数，m?n．设A??m,0?， 若?ACB?90?，

且OA?OB?OC?3?OA?OB?OC?．

222（1）求图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式； （2）点D是抛物线上

一动点，直线AD交线段BC于点Q，若ACQ，△ABQ的面积S△ACQ，S△ABQ13:，求此时点D的坐标． 满足S△ACQ:S△ABQ＝20.如图，在扇形OAB中，?AOB?90?，OA?12，点C在OA上，AC?4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．

（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF； （2）求CE?2DE的最小值．

21.阅读下列两则材料，回答问题： 材料一：我们将

?a?b与

?????a?b??(a)?(b)?a?b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将?a?b?和

a?b?中的“”去掉.例如：已知25?x?15?x?2，求25?x? 15?x的值．解：25?x?15?x???25?x?15?x???25?x???15?x??1025?x?15?x?2，

a?b22的的??a?b称为一对“对偶式”因为

??25?x?15?x?5