【附加15套高考模拟试卷】四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测(理科)数学试题含答案

每次随机播出，若将频率视为概率．

(Ⅰ)求恰好在第6分钟后开始播出第3号广告的概率；

（II）用表示至第4分钟末已完整播出广告的次数，求x的分布列及数学期望. 解：(Ⅰ)由条件知PA?32341,PB?,PC?,PD?. 1010101021219?2??3?124 P???????C2 . ??101010500?10??10?

（II）??0,1,2

? P 0 1 2 1 1017920119E??0??1??2??.

10100100100 19．（本小题满分12分）

79 1004 100在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AB?BC侧面PAB?底面ABCD，

PA?AD?AB?2，BC?4，?PAB?600

（I）若PB中点为．求证：AE//平面PCD；

AP（II）若，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值． （I）证明：取PC的中点，连结DF，EF

BDCQEF//AD，且AD?EF，所以ADFE为平行四边形． ?AE//DF，且AE不在平面PCD内，DF在平面PCD内，

所以AE//平面PCD （II）

直线BD与平面PCD所成角?的正弦值sin??20．（本小题满分12分）

定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的． 如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，

并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：

的长轴长是4，椭圆C2：

10． 5短轴长是1，点F1， F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，

（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；

（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．

解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即

，

．

∴

2

，即

∴，即bm=b=an=1，∴b=m=1，

，椭圆C2的方程是

；…………5分

∴椭圆C1的方程是

（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：联立：

2

．

，

，得

2

2

，即

∴△=192m﹣44（1+4m）=16m﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则

，

，∴

，

△F2MN的高即为点F2到直线的距离．

∴△F2MN的面积，……10分

∵，

当且仅当，即时，等号成立

∴

，即△F2MN的面积的最大值为．…………12分

21．（本小题满分12分）

已知函数f?x??alnx?x?1

2(Ⅰ)求曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线方程；

(Ⅱ)若关于x的不等式f?x??b?x?1?在?,???上恒成立，其中a,b为实数，求a的取值范围. ???1??e?解：（Ⅰ）求导f'?x??ax?2x，?f'?1??a?2又f?1??0， 所以曲线y?f?x?在 点?1,f?1??处的切线方程为y??a?2??x?1?即?a?2?x?y?a?2?0…………4分 (Ⅱ) 设g?x??f?x??b?x?1?即g?x??0在??1,?????e?上恒成立，

又g?1??0有g?x??g?1?恒成立 即x?1处取得极小值，得g'?1??a?2?b?0…6分

2?x?1???a?所以b?a?2, 从而g'?x???x?2??x

（ⅰ）当

a2?1e时，g?x?在??1?e,1???上单调递减，在?1,???上单调递增，所以g?x??g?1?a?2e…………8分 （ⅱ）

1a?1e?2?1时，g?x?在??e,a?2??上单调递增，在??a?2,1???单调递减，在?1,???上单调递增， 则只需g??1????a?e?e?1e?2e?1?0 ， 解得212e?a?e?e?2…………10分 （ⅲ）当

a?1??2?1时，，g?x?在??e,1?a??上单调递增，??1,2??单调递减，在?1,???上单调递增， 由g??a??2???g?1??0知不符合题意， .综上，a的取值范围是a?e?1e?2…………12分

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4， EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G． （Ⅰ）证明：EF=EG； （Ⅱ）求GH的长．

即

（Ⅰ）证明：连接 AF、OE、OF，则A，F，由EF是切线知OF⊥EF，∠BAF=∠EFG ∵CE⊥AB于点H，AF⊥BF， ∴∠FGE=∠BAF ∴∠FGE=∠EFG， ∴EF=EG………………5分

（Ⅱ）解：∵OE=OH+HE=OF+EF， ∴EF=OH+HE﹣OF=48， ∴EF=EG=4

，

………………10分

2

2

2

22

2

2

2

2

G，H四点共圆

∴GH=EH﹣EG=8﹣4

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中， 直线l的极坐标方程为?????x?2cos?. (??R)，曲线C的参数方程为?4??y?sin?（Ⅰ）写出直线l及曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A,B两点，若MA?MB?程.

8，求点M轨迹的直角坐标方3x2?y2?1……………………4分 解：（Ⅰ）直线l:y?x， 曲线C:2??x?x0?? （Ⅱ）设点M?x0,y0?及过点M的直线为l1:??y?y?0??2t2 2t23t2?2tx0?22ty0?x02?2y02?2?0 由直线l1与曲线C相交可得： 2x02?2y02?288?，即：x02?2y02?6 MA?MB??3332 x?2y?6表示一椭圆……………………8分

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