【附加15套高考模拟试卷】四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测(理科)数学试题含答案

证明：平面AEF?平面AFC；求二面角E?AC?F的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．C 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．D 9．A 10．B 11．A 12．C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．6. 114.

2?14．3

15．1

3316．56

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． (1)证明见解析. (2)

15. 5【解析】

分析：（1））设AC与BD相交于点O，连接FO，由菱形的性质可得AC?BD，由等腰三角形的性质可得AC?FO，利用线面垂直的判定定理可得结果；(2)先证明FO?平面ABCD.

uuuvO?xyzAD??3,?1,0，可得OA，以OA，，求出OB，OF两两垂直，OB，OF建立空间直角坐标系

??利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面ABF的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果. 详解：（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，

∵四边形ABCD为菱形，∴AC?BD，且O为AC中点， ∵FA?FC，∴AC?FO，

又FO?BD?O，∴AC?平面BDEF.

（2）连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且?DBF?60?，∴?DBF为等边三角形， ∵O为BD中点，∴FO?BD，又AC?FO，∴FO?平面ABCD. ∵OA，OB，OF两两垂直，∴建立空间直角坐标系O?xyz，如图所示， 设AB?2，∵四边形ABCD为菱形，?DAB?60?，∴BD?2，AC?23. ∵?DBF为等边三角形，∴OF?∴A3.

?3,0,0，B?0,1,0?，D?0,?1,0?，F0,0,3，

???uuuvuuuvuuuv∴AD??3,?1,0，AF??3,0,3，AB??3,1,0.

??????uuuvv?n??3x?3z?0?AF·v设平面ABF的法向量为n?_?x,y,z?，则?uuu， vvn??3x?y?0??AB·v取x?1，得n?1,3,1.设直线AD与平面ABF所成角为?，

uuuvvAD·nuuuvv15vv?. 则sin??cosAD,n?uuu5AD·n??

点睛：本题主要考查线面垂直的证明、利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的

一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

218．（1）x?4y（2）见解析

【解析】 【分析】

（1）由M??2,y0?是C上一点，可以得到一个等式；由抛物线的定义，结合MF?2，又得到一个等式，二个等式组成一个方程组，解这个方程组，这样就可以求出抛物线的方程；

（2）设出直线AB方程为y?kx?1，与抛物线方程联立，设点A?x1,y1?,B?x2,y2?，利用根与系数的关

系可以求出x1?x2?4k,x1x2??4，利用弦长公式可以求出AB的长，利用导数求出两条切线的斜率，可以证明出PA?PB，△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是圆的直径，即可证明四边形

PAQB存在外接圆，根据AB长度的表达式，可以求出外接圆面积的最小值.

【详解】

（1）解：根据题意知，4?2py0① 因为MF?2，所以y0?p?2② 2联立①②解得y0?1,p?2． 所以抛物线C的方程为x?4y． （2）四边形PAQB存在外接圆．

设直线AB方程为y?kx?1，代入x?4y中，得x2?4kx?4?0， 设点A?x1,y1?,B?x2,y2?，则??16k2?16?0， 且x1?x2?4k,x1x2??4

所以|AB|?1?k2x1?x2?4k2?1，

22??xx2因为C:x?4y，即y?，所以y'?．

242因此，切线l1的斜率为k1?由于k1k2?x1x，切线l2的斜率为k2?2， 22x1x2??1，所以PA?PB，即△PAB是直角三角形， 4所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是圆的直径， 所以点Q一定在△PAB的外接圆上，即四边形PAQB存在外接圆． 又因为AB?4k?1，所以当k?0时，线段AB最短，最短长度为4， 此时圆的面积最小，最小面积为4?． 【点睛】

本题考查了抛物线的定义的运用、抛物线的切线的斜率的应用、证明四边形是否存在外接圆问题.

?2?x219．（Ⅰ）（2）见解析. ?y2?1；

4【解析】 【分析】

?c3??2?a?2b21?1解出参数值即可；(1)根据题目所给的条件得到?（2）SABCD??AC?BD分别设出直线AM

2?2a22?a?b?c??和BM求出点B，D的坐标，并表示出AC，BD的长度，代入面积公式化简即可. 【详解】

?c3??2?a?2b2?a?2?1（Ⅰ）由已知可得：?解得：?；

?b?1?2a22?a?b?c??x2所以椭圆C的方程为：?y2?1．

4x2（Ⅱ）因为椭圆C的方程为：?y2?1，所以A??2,0?，B?0,?1?．

4m2设M?m,n??m?0,n?0?，则?n2?1，即m2?4n2?4．

4n?1mx?1，令y?0，得xC?； mn?1n2n同理：直线AM的方程为：y?． ?x?2?，令x?0，得yD?m?2m?2则直线BM的方程为：y?所以SABCD11m2n1?m?2n?2? ??AC?BD???2??1??22n?1m?22?m?2??n?1?21m2?4n2?4?4mn?4m?8n14mn?4m?8n?8?????2． 2mn?m?2n?22mn?m?2n?2即四边形ABCD的面积为定值2． 【点睛】

圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.

20．（1）见解析（2）??【解析】

试题分析：（1）在?ABD中，由正弦定理得

133 ，34ADBD???，进而得?BAD?，从而得?ADB?，sinBsin?BAD66