高中数学优质教案2：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计

高中数学优质教学设计 sinα3

∴tanα＝＝－. cosα4

πππ242372

于是有sin(－α)＝sincosα－cossinα＝×－×(－)＝，

444252510πππ242372cos(＋α)＝coscosα－sinsinα＝×－×(－)＝，

444252510π3

tanα－tan－－1

4tanα－14π

tan(α－)＝＝＝＝－7.

4π1＋tanα3

1＋tanαtan1＋(－)44

点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯． 变式训练

1．不查表求cos75°，tan105°的值．

解：cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30° ＝

6－22321

×－×＝， 22224

tan60°＋tan45°3＋1

＝＝－(2＋3)．

1－tan60°tan45°1－3

tan105°＝tan(60°＋45°)＝

π3π

2．设α∈(0，)，若sinα＝，则2sin(α＋)等于( )

254

717

A. B. C. D．4 552【答案】A

2π33π例2 已知sinα＝，α∈(，π)，cosβ＝－，β∈(π，)．

3242求sin(α－β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)．

活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系．根据公式S(α－β)、C(α＋β)、T(α＋β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号． 2π

解：由sinα＝，α∈(，π)，得

32cosα＝－1－sin2α＝－

2525

1－()2＝－，∴tanα＝－.

335

33π

又由cosβ＝－，β∈(π，)，得

42sinβ＝－1－cos2β＝－∴tanβ＝

37

1－(－)2＝－，

44

7

. 3

5

高中数学优质教学设计 ∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ 2357－6－35＝×(－)－(－)×(－)＝. 343412∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝(－

532735＋27

)×(－)－×(－)＝. 343412

－

257

＋53tanα＋tanβ－65＋57－325＋277

∴tan(α＋β)＝＝＝＝.

171－tanαtanβ25715＋235

1－(－)×

53

点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力. 变式训练

引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识． 解：设电视发射塔高CD＝x米，∠CAB＝α，则sinα＝在Rt△ABD中，tan(45°＋α)＝

x＋30

tanα. 30

30， 67

30tan45°＋α

于是x＝－30，

tanα

30π601

又∵sinα＝，α∈(0，)，∴cosα≈，tanα≈. 6726721

1＋21＋tanα

tan(45°＋α)＝≈＝3，

11－tanα

1－230×3∴x＝－30＝150(米)．

12

答：这座电视发射塔的高度约为150米.

35

例3 在△ABC中，sinA＝(0°

513活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的．同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力．教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子．教师要提醒学生注意角的范围这一隐含条件． 解：∵在△ABC中，A＋B＋C＝180°，∴C＝180°－(A＋B)． 34

又∵sinA＝且0°

55

6

高中数学优质教学设计

512

又∵cosB＝且45°

1313

3541263

∴sinC＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，

513513653124516

cosC＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝×－×＝.

51351365

点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用，解决三角形问题时，要注意三角形内角和等于180°这一隐含条件. 变式训练

在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰非直角三角形 【答案】C

思路2

3π5π3π3π

例1 若sin(＋α)＝，cos(－β)＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值．

4134544

活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值．尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答．对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键．学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它．对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等．如教师可变换α，β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值． π3π3π3πππ

解：∵0<α<<β<，∴<＋α<π，－<－β<0.

4444243π5π3

又sin(＋α)＝，cos(－β)＝，

413453π12π4∴cos(＋α)＝－，sin(－β)＝－.

41345

π3ππ

∴cos(α＋β)＝sin[＋(α＋β)]＝sin[(＋α)－(－β)]

2443ππ3ππ

＝sin(＋α)cos(－β)－cos(＋α)sin(－β)

44445312433＝×－(－)×(－)＝－. 13513565

7

高中数学优质教学设计

本题是典型的变角问题，即把所求角利用已知角来表示，实际上就是化归思想．这需要巧妙地引导，充分让学生自己动手进行角的变换，培养学生灵活运用公式的能力. 变式训练

3π3π12

已知α，β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝. 45413π

求cos(α＋)的值．

4

3π3π12

解：∵α，β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，

454133πππ3π

∴<α＋β<2π，<β－<. 22444π5∴cos(α＋β)＝，cos(β－)＝－.

5413ππ

∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)] 44ππ

＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－) 444531256

＝×(－)＋(－)×＝－. 51351365例2 化简

sin(α－β)sin(β－θ)sin(θ－α)

＋＋. sinαsinβsinβsinθsinθsinα

活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评．

sinαcosβ－cosαsinβsinβcosθ－cosβsinθsinθcosα－cosθsinα

解：原式＝＋＋

sinαsinβsinβsinθsinθsinα

sinαcosβsinθ－cosαsinβsinθsinαsinβcosθ－sinαcosβsinθsinθsinβcosα－cosθsinβsinα

＝＋＋

sinαsinβsinθsinαsinβsinθsinθsinβsinα＝

0

sinθsinβsinα

＝0.

点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力. 变式训练

sin(α＋β)－2sinαcosβ化简.

2sinαsinβ＋cos(α＋β)

sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ

解：原式＝ 2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβcosαsinβ－sinαcosβsin(β－α)＝＝＝tan(β－α). sinαsinβ＋cosαcosβcos(β－α)

作业

8