江西省上饶市铅山一中 德兴一中2015-2016学年高一上学期四校第三次联考数学试题（直升班）

??x＝4，由?

?2x－y－3＝0?

得圆心M(4,5)，∴半径r＝|PA|＝10.

2

2

∴圆的标准方程为(x－4)＋(y－5)＝10. ?????4分

(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离为2，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x－2)，整理得kx－y＋1－2k＝0， |4k－5－2k＋1||2k－4|则圆心到直线的距离为d＝＝. k2＋1k2＋1?2k－4?

由题意可知，d＋(6)＝r，即＋6＝10，

k2＋1

2

2

2

2

3

解得k＝. 故所求直线方程为3x－4y－2＝0或x＝2. ?????8分

41

(3)直线OP的方程为y＝x，即x－2y＝0.

2|4－2×5|6

∴圆心到直线的距离为d＝＝5. 2

52＋16

则圆上的点到直线的最大距离为d＋r＝5＋10，

5又∵|OP|＝1＋2＝5，

1152?6?∴△OPQ面积的最大值为|OP|(d＋r)＝×5?5＋10?＝3＋. ?????12分 222?5?22．（本题满分12分）已知函数f(x)定义域是?xx?22???k,k?Z,x?R?，且2?f(x)?f(2?x)?0，f(x?1)??（1）证明：f(x)为奇函数；

11，当?x?1时，f(x)?3x．

2f(x)

（2）求f(x)在??1,???1??上的表达式； 2?（3）是否存在正整数k，使得x??2k?在求出k的值，若不存在说明理由． 【解析】(1)f?x?2??f?x?1?1?????1?,2k?1?时，log3f(x)?x2?kx?2k有解，若存2?1?f?x?,所以f?x?的周期为2，

f?x?1?

所以f?x??f?2?x??0?f?x??f??x??0,所以f?x?为奇函数．?????3分

11当-1?x??时，??x?1则f(?x)?3?x

22（2）

因为f(x)??f(?x)，所以当?1?x??

（3）任取x??2k?1时，f(x)??3?x．?????6分 2??1??1?,2k?1??x?2k??,1?,?f?x??f?x?2k??3x?2k 2??2?1?? log3(3x?2k)?x2?kx?2k在x??2k?,2k?1?有解，2??1即x2?(k?1)x?0在x?(2k?,2k?1)有解，k?N?.

211?(0,k?1)?(2k?,2k?1)???k?1?2k?)(k?N?)?无解

22

所以不存在这样的k?N， 使得x??2k?

???1?,2k?1?时，log3f(x)?x2?kx?2k有解． ?????12分 2?