2012年海文考研高数复习题

27、设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数且

?(a)?f??(b)?0， f(a)?f(b)?0,f?证明：必???(a,b),??(a,b)使f(?)?0,f??(?)?0．

28、设f(x)是[0,1]上单调减少的函数，证明对于0?????1，有

?

?0f(x)dx??????f(x)dx．

高 等 数 学 参考答案详解

一、填空题

1．【答案】 4 '2【提示】 利用ds=1＋y(x)dx

2．【答案】

1 2【详解】 利用Hospital法则

xtxx lim0x?0?dt?f(u)du0sin2xf(u)du?f(u)duf(0)100?lim?lim?? 22x?0x?0?(sinx)2xcosx2?23．【答案】

1 2【提示】 利用反函数求导法则．y?f?(x)，??(x)?4．【答案】 y?c1ex?c2e?x?xex

1． ?f(x)【详解】 将特解代入原方程得：??0,???1,???2

所以，原方程为： y???y??2e ， 进而求得通解为

?xy?c1ex?c2e?x?xex．

5．【答案】 y??x 2【详解】 由limf(x)?2?f?(0)?2

x?0ex?11． 2 所以，y=f(x)在x=0的切线方向为2 ，法线方向为?6．【答案】 22

1?|【详解】 利用 Ry??(1?y?)322| ，

dydy()t2dy1dydtsint将；2?dx?? 代入， ??dxdxdx1?costdx(1?cost)2dtdt就得到 R?|y??(1?y?)|= 22．

y??3227．【答案】 2?R

【详解】 利用极坐标 x=rcos?cos?，y=rsin?cos?， z= rsin?

?211rdxdy?dxdy=4d?dr=2?R ??????22222zR?x?yR?r??00R8．【答案】 0 【详解】 运用导数和拐点的定义． lim(f(p?k?h)?f(p?k)f(p?k)?f(p)f?(p?k)?f?(p)?)?

h?0khkhkf?(p?k)?f?(p)lim?f??(p)?0 k?0k

9．【答案】f1?xyf11?y1f?f22 223xx【详解】 运用链式法则，即符合函数求导公式．

y?zyz=f(xy,) ?yf1?2f2x?xx

?2z1y?f1?xyf11?2f2?3f22?x?yxx10．【答案】

11 ????????【详解】 令 A=（1，1，0）， B=（0，0，3），则 AB?{?1,?1,3} AB?{1,2,1}?0

????所以，AB垂直该直线，点A（1，1，0）到该直线的最短距离为 |AB|= 11．

11．【答案】 8?xy?2

??f(x,y)dxdy=a【详解】

Dxya=f(x,y)-2 ? f(x,y)=axy+2? ??f(x,y)dxdy=??(axy+2)dxdyDD

? a=??axydxdy+??2dxdy=a??xydxdy+8??8?

DDDf(x,y)?8?xy+2

12．【答案】 [?11,] 22n【提示】 limn??112n?cosn?2 ，所以收敛区间为[?,]

2213．【答案】

1(1?e?1) 2【提示】 利用变换积分次序．

14．【答案】1?22 3x0xx21【详解】 f(x)??(1?|t|)dt??(1?t)dt??(1-t)dt???x?，

22?1?10令f(x)＝0，得x1=1-2 x2?1?2 ，

1?2f(x)与x轴所围面积=

1-2?f(x)dx?1?22． 315．【答案】 ?3ln2 3???1111n1【详解】 设s??n?1 , s??n s(x)??x

33n?1n3n?1nn?1n3对其先求导，再积分得出

??xdx??n-10n?1x?x1dx??ln(1?x) 1-x0令x=

1122 ,则 s=?ln ,s=?3ln 3333二．选择题

1．【答案】 D

【提示】 极大值点不一定可导，故选D 2．【答案】 B

【详解】 当n为偶数时，可设n=2 则f?(x0)?f??(x0)，而f???(x0)?0，则 （x0,f(x0)）必为拐点，可用排除法．

3．【答案】 B

【详解】 可导必连续．f(x)在x=0处可导，从而一定在x=0处连续，所以，