2017版《三年高考两年模拟》数学(理科)汇编专题：8.4空间中平行的判定与性质

第四节 空间中平行的判定与性质

A组 三年高考真题（2016～2014年）

1.(2016·山东,17)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.

(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证：GH∥平面ABC；

1

(2)已知EF＝FB＝AC＝23,AB＝BC,求二面角F－BC－A的余弦值.

2

2.(2016·全国Ⅲ,19)如图,四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点.

(1)证明MN∥平面PAB；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

3.(2015·江苏,16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC＝CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1＝E.

求证：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1.

4.(2014·江苏,16) 如图,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA＝6,BC＝8,DF＝5.

求证：(1)直线PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC.

5.(2014·新课标全国Ⅱ,18) 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设二面角DAEC为60°,AP＝1,AD＝3, 求三棱锥EACD的体积.

6.(2014·湖北,19)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP＝BQ＝λ(0<λ<2). (1)当λ＝1时,证明：直线BC1∥平面EFPQ；

(2)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在,求出λ的值；若不存在,说明理由.

B组 两年模拟精选(2016～2015年)

1.(2016·浙江金华十校期末)设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则下列命题中正确的是( )

A.若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α B.若m?α,n⊥α,l⊥n,则l∥m C.若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n D.若l⊥m,l⊥n,则n∥m

2.(2016·贵阳调研)在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则( )

A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形 B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形 C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形 D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形

3.(2015·成都四中模拟)以下命题中真命题的个数是( ) ①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则直线l∥α； ②若直线a在平面α外,则a∥α； ③若直线a∥b,b?α,则a∥α；

④若直线a∥b,b?α,则a平行于平面α内的无数条直线. A.1 B.2 C.3 D.4

4.(2016·北京海淀模拟)如图所示,ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面a

的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP＝,过P、M、N的平面交上底面于

3PQ,Q在CD上,则PQ＝________.

5.(2015·四川德阳模拟)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中, E、F分别是棱DD1 、C1D1的中点.

(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值； (2)证明：B1F∥平面A1BE.

答案精析

A组 三年高考真题（2016～2014年）

1.(1)证明 设FC中点为I,连接GI,HI,在△CEF中,因为点G是CE的中点,所以GI∥EF.

又EF∥OB,所以GI∥OB.在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC, 又HI∩GI＝I,所以平面GHI∥平面ABC. 因为GH?平面GHI,所以GH∥平面ABC.

(2)连接OO′,则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC,且AC是圆O的直径,所以BO⊥AC. 以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

由题意得B(0,23,0),C(－23,0,0).过点F作FM垂直OB于点M,

→→

所以FM＝FB2－BM2＝3,可得F(0,3,3).故BC＝(－23,－23,0),BF＝(0,－3,3). →?BC＝0，?m·?－23x－23y＝0，

设m＝(x,y,z)是平面BCF的一个法向量.由?可得?

→－3y＋3z＝0.??BF＝0.?m·可得平面BCF的一个法向量m＝?－1，1，

?

3?, 3?m·n7

因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1),所以cos〈m,n〉＝＝.

|m||n|7所以二面角F－BC－A的余弦值为7. 7

2

2.(1)证明 由已知得AM＝AD＝2.

3

1

取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN＝BC＝2.

2又AD∥BC,故TN綉AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT. 因为AT?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN∥平面PAB.