怀化学院省级精品课程-高等代数教案：第四章 矩 阵

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 §7 分块乘法的初等变换及应用举例

将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段. 现设某个单位矩阵如下进行分块：

?Em??O?O??. En??对它进行两行(列)对换；某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵P；一行(列)加上另一行(列)的P (矩阵)倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：

?O??E?mEn??PO??Em?,???OE??,?O?n??O??O??Em?,??P???OP??Em?,??En???PO??. En??和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵

?AB???CD??, ??只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：

?O??E?nEm??AB??CD????CD?????AB??, (1) O???????PO??AB??PAPB??, (2) ??CD?????C??OE???D?n??????Em??P?O??AB??AB????CD?????C?PAD?PB??. (3) En??????同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果.

在(3)中，适当选择P，可使C?PA?O.例如A可逆时，选P??CA?1，则

C?PA?O.于是(3)的右端成为

B?A???OD?CA?1B?? ??这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的，因此(3)中的运算非常有用.

例1 设

?AO?T???CD??,

??A,D可逆，求T?1.

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 ?Em解：由??1?CA???Em?1T????CA?1????10??A0??A0??A0??A?1?????及?0D???En??CD?0D??0?????1?10??，有 D?1?0??A0???A?1??????En??CD???0?0??Em???1D?1???CA0??A?1????1?1En???DCA0? ?1?D???1111?例2．A??1?11?1????A1A1?，A?1??11?1?1???A?1?11?A1?2A1 ?1?1?11??解：??EE??0E????A1A1??E0??2A10??E0??2A1?A?A?????11??EE??A1?A??1??EE?????0??EE??1?2A?1?1 ?A?1??10??E0??????0E????0?A??1??EE????

????E0???1A?1?10?E??EE????2??E?0?A?1?E?1???0? ?10????E0??4A1??EE??EE??????1??A0E?? ?A11??2????114A1??4A?1???1A ?1?4A1?1?A?441??例3设

T?AB?1????CD???,

其中T1,D可逆，试证(A?BD?1C)?1存在，并求T?11.

例4 证明行列式的乘积公式|AB|?|A||B|.

证：??EnA??A0?AB??0E??B?????0n???E??EB??

0??A?

1?课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 ?En??0?1??a11?a1n???????A??1an1?ann???P???11?P1n?Pn1?PnnE En??1????????1???En?P?P?P?P111nn1nn??0?En其中初等矩阵Pij???0?En??0A??A??En???E0?? En?Eij?（i,j）元素为aij外，其余元素皆为0． ?，Eij为除

En?0??A???B???E0???AB B?0??A?P?P?P?P111nn1nn??B???E?0???EAB?0nAB?(?1)?(?1)nAB?E?AB ?B?B?E?AB?AB. 例5 设A?aij??n?n，且

a11?a1k???0,1?k?n,

ak1?akk则有下三角形矩阵Bn?n使

BA=上三角形矩阵.

证明：存在下三角矩阵Bn*n，使BA为上三角形． 证：对n作归纳法．

当n=1时，A?(a11),?B?(b11),BA?(a11b11)为上三角形．

假设对n－1级矩阵命题成立，即，对A1?(aij)(n?1)*(n?1)结论成立，于是存在

(n?1)?(n?1)矩阵B1，满足：B1A1为上三角形．下面考虑n级矩阵A?(aij)n?n．

?a1n????????,??(a,a,?,a)

?,???an1n2n,n?1?ann?n?2,n???a??n?1,n??A 对A作分块 A??1??

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 0??A1?E 则 ????11??????A1???ann??0???A1? ?1?ann??A1????B1???B1A1??B0??A1 ?1??上三角形． ??0a??A?1???0?1?a??A??01??nn1nn1???