怀化学院省级精品课程-高等代数教案：第四章 矩 阵-

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 i列?1????1?P(i,j(k))???????j列?????k?i行

???,?j行1????1?同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.应该指出，对单位矩阵作一次初等列变换所得的矩阵也包括在上面所列举的这三类矩阵之中.譬如说，把E的i列的

k倍加到j列，我们仍然得到P(i,j(k)).因之，这三类矩阵就是全部的初等矩阵.

引理 对一个s?n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的

s?s初等矩阵；对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n?n的初等矩阵.

p(i,j)A： 对换A的i ,j两行； Ap(i,j): 对换A的i ,j两列． p(i(k))A：用非零数k乘A的第i列； Ap(i(k))：用非零数k乘A的第i

列．

p(i,j(k))A：A的第j行乘以k加到第i行；Ap(i,j(k))：A的第i列乘以

k加到第j列．

不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵.事实上

P(i,j)?1?P(i,j),P(i(c))?1?P(i(c?1)),P(i,j(k))?1?P(i,j(?k)). 在第二章§5我们看到，用初等行变换可以化简矩阵.如果同时用行与列的初等变换，那么矩阵还可以进一步化简.

二、可逆矩阵及其逆矩阵的求法

定义11 矩阵A与B称为等价的，如果B可以由A经过一系列初等变换得到. 等价是矩阵间的一种关系.不难证明，它具有反身性、对称性与传递性. 定理5 任意一个s?n矩阵A都与一形式为

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?1?0??????0?0??的矩阵等价，它称为矩阵A的标准形，1的个数等于A的秩(1 的个数可以是零).

例1 用初等变换将下列矩阵化为标准形，

?1??1A??2??2?132432651??5? 7??6??根据引理，对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵.因之，矩阵A,B等价的充要条件是有初等矩阵P1,?,Pl,Q1,?,Qt使

A?P1P2?PlBQ1Q2?Qt. (1)

n级可逆矩阵的秩为n，所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵；反过来显然也

是对的.

定理6 n级矩阵A为可逆的充要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：

A?Q1Q2?Qm. （2）

推论1 两个s?n矩阵A,B等价的充要条件为，存在可逆的s级矩阵P与可逆的n级矩阵Q使

A?PAQ.

把(2)改写一下，有

?1?1?1Qm?Q2Q1A?E. (3)

因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩阵A的左边乘初等矩阵就相当于对A作初等行变换，所以(3)说明了

推论2 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵.

以上的讨论提供了一个求逆矩阵的方法.设A是一n级可逆矩阵.由推论2，有一系列初等矩阵P1,?,Pm使

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 Pm?P1A?E, (4)

由(4)即得

A?1?Pm?P1?Pm?P1E. (5)

(4)，(5)两个式子说明，如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化成单位矩阵，那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵，就得到A?1.

把A,E这两个n?n矩阵凑在一起，作成一个n?2n矩阵

(AE),

按矩阵的分块乘法，(4)，(5)可以合并写成

Pm?PE)?(Pm?P1(A1APm?P1E)?(EA?1). (6)

(6)式提供了一个具体求逆矩阵的方法.作n?2n矩阵(AE)，用初等行变换把它的左边一半化成E，这时，右边的一半就是A?1.

例2 设

?012???A??114?

?2?10?????2??1?1A求.（ A??4?3???2??11???21? ）

1?1??2?当然，同样可以证明，可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵，这就给出了用初等列变换求逆矩阵的方法.

三、用初等变换解矩阵方阵

AX?B，A可逆，X=A?1B．?A?B????????????????????初等行变换E?A?1B

???A?????????????????????E?XA?B，A可逆，X=BA．??初等列变换??1?

?B??BA??1?123??25?????例3．A??221?,B??31?，AX?B，求X．

?343??43?????

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 ?10032??32?????解：?A?B?????010?2?3?.?X???2?3?．

?00113??13??????021??123??? 例4．A??2?13?,B???.XA?B，求X．

2?31????33?4?????1解：??0?A??B???????0?2???400?10?01??.?X???2?1?1????474??

?1?1?74??.