怀化学院省级精品课程-高等代数教案：第四章 矩 阵

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 123123?123???例3．A??221?， 则 A?221?221?2，

?343?34300?1??6?4??2???A???3?65?， ?A?1??22?2???6?4?2?1???3?65?． 2??2?2?2???1a2?a1?D??例4．

???a2?a1?1????，则D?1??i?1,?,n，ai?0，

??????an?????． ????1?an?则 D?a1a1?an，

0?a2?an?a1a3?an?0D???????00??a1?1????0??1?D?， ?????????a1?an?1????0?1a2???． ????1?an?根据定理3容易看出，对于n级方阵A,B，如果

AB?E

那么A,B就都是可逆的并且它们互为逆矩阵.

证：AB?E?AB?1?A?0，B?0?A,B可逆．

A?1(AB)?A?1E?B?A?1，(AB)B?1?EB?1?A?B?1．

定理3不但给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式(4).按这个公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的.在以后我们将给出另一种求法.

由(5)可以看出，如果|A|?d?0，那么

|A?1|?d?1

三、逆矩阵的运算规律

1) A可逆?A?1可逆，且(A?1)?1?A． 2) A可逆，??0??A可逆，且(?A)?1?1?A?1．

3) A、B为n级可逆方阵?AB可逆，且(AB)?1?B?1A?1． 因 (AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?(AE)A?1??AA?1?E，

?AB可逆，且(AB)?1?B?1A?1．

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 4) A可逆?A'可逆，且(A')?1?(A?1)'．

因A可逆，则 (A?)(A?1)??(A?1A)??E??E， ?A'可逆，且(A')?1?(A?1)'． 5) A可逆?A*可逆，且(A*)?1?A， A因A可逆，则(1?1A． A)A?E，?A?(A)?E，?A*可逆，且(A*)?1?AAA?6) A可逆?Ak可逆，且(Ak)?1?(A?1)k?A?k．

因A可逆，则A(A)?(AA)?E?E?A可逆，且(A)?(A)?A?k．

k?1k?1kkkl（注：当A?0时，定义A0?E，A?k?(A?1)k，则AkAl?Ak?，(Ak)l?Akl）

k?1?1k?注意：A、B可逆，A?B未必可逆.

例5. 设方阵A满足A2?3A?10E?0，证明：A，A?4E都可逆，并求它们的逆矩阵．

?1?证：由A2?3A?10E?0，得A(A?3E)?10E，即得A?(A?3E)??E，

?10?故A可逆，且A?1?1(A?3E)． 10再由A2?3A?10E?0，得A2?4A?A?4E?6E?A(A?4E)?E(A?4E)?6E，

?(A?E)(A?4E)?6E，即 (A?E)(A?4E)?E，

1故A?4E可逆，且(A?4E)?1?(A?E)．

616例6．证明：若A?0，则A*?0

证：?AA*?AE?AA*?0； 当A?0时，A*?0，?A*?0

*?当A?0时，反设A*?0，则A*可逆．由AA*?0，有(AA()A)*10(?)A*10??，

即A?0，矛盾，?A*?0． 四、矩阵方程

A为n阶可逆矩阵，若B为n?s矩阵，且AX?B?X?A?1B为n?s矩阵；

若B为s?n矩阵，且XA?B?X?BA?1为s?n矩阵；

A,B分别为n,s阶可逆矩阵，若C为n?s矩阵，且AXB?C?X?A?1CB?1为n?s矩阵．

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 ?25??4?6?例7．?X????，求X．

?13??21??25??4?6??3?5??4?6??2?23?解：X??． ????????????13??21???12??21??08??1?033???例8．A??110?，AB?A?2B，求B．

??123????233解：由AB?A?2B，得(A?2E)B?A，又A?2E?1?10?2?0，

?121??133?1???A?2E可逆，且(A?2E)?1???113?，

2???11?1??033????B?(A?2E)?1A???123?．

?110???例9．Cramer法则另一种简捷的推导

???anx?a11x11n?b1?给 ????????，可改写为矩阵形式：AX?B，（6）

?ax???ax?bnnnn?n11?x1??b1?a?a?11????1n???xb22其中 A??????，X???，B???

???????a??????n1?ann?x?n??bn? 当系数行列式D?A?0时, A可逆，且A?1?1*A A将X?A?1B代入（6）有恒等式AA?1B?B，即X?A?1B是（6）的一个解 若X?C是（6）的一个解，则AC?B,?A?1AC?A?1B,?C?A?1B，故

X?A?1B是（6）的唯一解，由 A?1?1*A，有 A

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 ?A11?1?A121?X?A?1B?AB??A?A??A?1nA21?An1???b1A11?b2A21???bnAn1??A22?An2?1?B???? ????A???bA?bA???bA11n22nnnn??A2n?Ann??Dj1?xj?(b1A1j?b2A2j???bnAnj)?,AD则：

j?1,2,?,n. 得证Cramer法

若（6）的系数矩阵A的行列式 D?|A|?0，则方程组（6）有唯一解：

x1?DD1D，x2?2,?,xn?n. DDD五、矩阵乘积的秩

定理4：?As?n，若Ps?s，Qn?n可逆，则R(A)?R(PA)?R(AQ)?R(PAQ)．即可逆矩阵不改变矩阵的秩.

R(B)?R(A)?证：令B?PA，又PB?A，由定理2，??R(A)?R(B)

R(A)?R(B)??1