2019-2020学年苏教版必修4 2.3.2 第2课时 平面向量共线的坐标表示 学案

第2课时 平面向量共线的坐标表示

1.进一步理解平面向量的坐标表示． 2.掌握平面向量共线的坐标表示．

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(a≠0) (1)如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0； (2)如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．( ) (2)向量(2，3)与向量(－4，－6)反向．( )

解析：(1)正确．因为(4，8)＝4(1，2)，所以向量(1，2)与向量(4，8)共线． (2)正确．因为(－4，－6)＝－2(2，3)，所以向量(2，3)与向量(－4，－6)反向． 答案：(1)√ (2)√

2．下列各组中的两个向量，共线的序号是( ) A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6) B．a2＝(1，－2)，b2＝(7，14) C．a3＝(2，3)，b3＝(3，2) D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－4) 答案：D

3．已知向量a＝(－1，m)，b＝(－m，2m＋3)，且a∥b，则m＝________． 解析：由已知得－(2m＋3)＋m2＝0， 所以m＝－1或m＝3. 答案：－1或3

→→

4．已知A(1，2)，B(4，5)，若AP＝2PB，则点P的坐标为________．

→→→→

解析：设P(x，y)，所以AP＝(x－1，y－2)，PB＝(4－x，5－y)，又AP＝2PB，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，

??x－1＝2（4－x），即? ??y－2＝2（5－y），

??x＝3，解得?

??y＝4.

答案：(3，4)

已知向量共线求参数值

(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，

则λ＝________．

(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，求实数k的值．【解】 (1)因为a＝(1，2)，b＝(2，3)， 所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)． 因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线， 所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.故填2.

(2)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，因为(3a－b)∥(a＋kb)， 所以0－(－10－30k)＝0， 所以k＝－13

.

若本例(2)条件不变，判断向量(3a－b)与(a＋kb)是反向还是同向？ 解：由向量(3a－b)与(a＋kb)共线，得k＝－1

3，

所以3a－b＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a＋kb＝a－11

3b＝(1，－2)－3(3，4)

＝??

0，－103??＝1

3(0，－10)， 所以向量(3a－b)与(a＋kb)同向．

由向量共线求参数的值的方法

1.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，c＝a＋b，d＝a－b，若c∥d，则实

数x＝________．

解析：因为向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，所以c＝a＋b＝(1＋x，3)，d＝a－b＝(1－x，1)．因为c∥d，所以1＋x－3(1－x)＝0.

1

解得x＝.

21答案：

2

三点共线问题

→→→

(1)已知OA＝(3，4)，OB＝(7，12)，OC＝(9，16)，求证点A，B，C共线． →→→

(2)设向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线？

→→→

【解】 (1)证明：由题意知AB＝OB－OA＝(4，8)， →→→→3→AC＝OC－OA＝(6，12)，所以AC＝AB，

2→→

即AB与AC共线．

→→

又因为AB与AC有公共点A， 所以点A，B，C共线．

→→→

(2)因为AB＝OB－OA＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)， →→→

BC＝OC－OB＝(10，k)－(4，5)＝(6，k－5)， 又A，B，C三点共线， →→所以AB＝λBC，

即(4－k，－7)＝λ(6，k－5)＝(6λ，(k－5)λ)．

??4－k＝6λ，所以?

??－7＝λ（k－5）.

解得k＝11或k＝－2.

判断向量(或三点)共线的三个步骤

→→

2.已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB与CD平行吗？

直线AB平行于直线CD吗？

→

解：因为AB＝(1－(－1)， 3－(－1))＝(2，4)，

→

CD＝(2－1，7－5)＝(1，2)， 又因为2×2－4×1＝0， →→所以AB∥CD.

→→

又因为AC＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)，AB＝(2，4)， 所以2×4－2×6≠0， 所以A，B，C三点不共线， 所以AB与CD不重合， 所以直线AB∥直线CD．

向量共线的综合应用

如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB交点P的坐标．

→→

【解】 设OP＝tOB＝t(4，4)＝(4t，4t)， →→→则AP＝OP－OA ＝(4t，4t)－(4，0) ＝(4t－4，4t)， →→→AC＝OC－OA ＝(2，6)－(4，0)