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15．如图，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=，

AB=3，∠OAB=45°，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°，若△AEF为等腰三角形，则OE的长为

．

【考点】等腰三角形的性质；坐标与图形性质．

【分析】因为△AEF为等腰三角形，所以要分三种情况进行讨论：①当EF=AF时，如图1，根据△AGB是直角三角形及斜边AB=3可求AG的长，即BG的长，从而求出AE的长，相减即可得出OE；

②当EF=AE时，如图2，AE=BD=，则OE=OA﹣AE即可；

③当AE=AF时，如图3，证明△ODE是等腰三角形，再求OD的长，就是OE的长． 【解答】解：当△AEF为等腰三角形，存在3种情况：

①当EF=AF时，如图1，过点B作BG⊥x轴于G，则△AGB是直角三角形， ∵BD=

，

∴OA=4， ∵∠OAB=45°，

∴△AEF是等腰直角三角形， ∵∠DEF=45°， ∴∠DEA=90°，

则四边形DEGB是平行四边形， ∵AB=3， ∴AG=BG=∴AE=AG+EG=∴OE=OA﹣AE=4

， +BD=﹣

=+

=；

，

②当EF=AE时，如图2， ∵∠OAB=45°，

∴∠EFA=∠OAB=45°， ∴∠FEA=90°， ∵∠DEF=45°，

∴∠DEO=180°﹣90°﹣45°=45°， ∴∠DEO=∠OAB， ∴OE∥AB， ∵BC∥OA，

∴四边形DEAB是平行四边形， ∴AE=BD=，

13

∴OE=4﹣=3； ③当AE=AF时，如图3， ∵∠OAB=45°， ∴∠FEA=67.5°， ∵∠DEF=45°，

∴∠OED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°， 由（1）得：AG=BG=， ∴CD=OA﹣AG﹣BD=4﹣

﹣

=

，

∴CD=OC=

，

∴△COD是等腰直角三角形，则OD=CD=3， ∴∠COD=45°， ∴∠DOE=45°，

∴∠ODE=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°， ∴∠ODE=∠OED， ∴OD=OE=3 综上所述：OE=

或3

或3．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16．先化简，再求值：

，其中x满足x2﹣4x+3=0． 14

【考点】分式的化简求值．

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=[

﹣

]÷

=

×

=

2

×=﹣，

∵x满足x﹣4x+3=0， ∴（x﹣3）（x﹣1）=0， ∴x1=3，x2=1， 当x=3时，原式=﹣

=﹣；

当x=1时，原式无意义． 故分式的值为﹣．

17．如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）①当AE= 3.5 时，四边形CEDF是矩形； ②当AE= 2 时，四边形CEDF是菱形．

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定． 【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可； （2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根据矩形的判定推出即可； ②求出△CDE是等边三角形，推出CE=DE，根据菱形的判定推出即可． 【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴CF∥ED，

∴∠FCD=∠GCD， 又∠CGF=∠EGD． G是CD的中点， CG=DG，

在△FCG和△EDG中，

∴△CFG≌△EDG（ASA）， ∴FG=EG， ∵CG=DG，

15

∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）①解：当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形， 理由是：过A作AM⊥BC于M， ∵∠B=60°，AB=3， ∴BM=1.5，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5， ∵AE=3.5， ∴DE=1.5=BM，

在△MBA和△EDC中，

∴△MBA≌△EDC（SAS）， ∴∠CED=∠AMB=90°，

∵四边形CEDF是平行四边形， ∴四边形CEDF是矩形， 故答案为：3.5；

②当AE=2时，四边形CEDF是菱形， 理由是：∵AD=5，AE=2， ∴DE=3，

∵CD=3，∠CDE=60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴CE=DE，

∵四边形CEDF是平行四边形， ∴四边形CEDF是菱形， 故答案为：2．

18．某市某中学为了搞好“创建全国文明城市”的宣传活动，对本校部分学生（随机抽查）进行了一次相关知识了解程度的调查测试（成绩分为A，B，C，D，E五个组，x表示测试成绩）．通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图．

16