2015年北京市高考理科数学试题及答案

19．（本小题14分）

x2y221?和点A?m，n??m≠0?都在椭圆C已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率为，点P?0，2ab上，直线PA交x轴于点M．

（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）； （Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得?OQM??ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由． 20．（本小题13分）

?2an，an≤18，…?． 已知数列?an?满足：a1?N*，a1≤36，且an?1???n?1，2，2a?36，a?18n?n记集合M?an|n?N*．

（Ⅰ）若a1?6，写出集合M的所有元素；

（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

??

答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A (2)D（3）B（4）B（5）C（6）C（7）C（8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）40 （10）3111 （11）1 （12）1 （13） （14）1，≤ a <1 或a ≥ 2 3262三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分） 解：（I）因为f(x)?22sinx?(1?cosx) 22?2 ?sin(x?)?42所以f(x)的最小正周期为2?

3???（Ⅱ）因为???x?0，所以??x??

444

当x??4???2，即x???时，f(x)取得最小值。

34所以f(x)在区间???,0?上的最小值为f(??)??1?（16）（本小题13分）

解：设时间A1为“甲是A组的第i个人”，

时间B1为“乙是B组的第i个人”，i=1,2，…，7. 由题意可知P(A1)?P(B1)?342 21, i=1,2，…，7. 73 7A6B6A7B6.

（Ⅰ）由题意知，时间“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，

或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是

P(A5A6A7)?P(A5)?P(A6)?P(A7)?（Ⅱ）设时间C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知， C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3因此 P(C)?P(A4B1)?P(A5B1)?P(A6B1)?P(A7B1)?P(A5B2)

?P(A6B2)?P(A7B2)?P(A7B3)?P(A6B6)?P(A7B6)

=10P(A4B1) =10P(A4)P(B1) =（Ⅲ）a=11或a=18

10 49

（17）（本小题14分） 解：（I）因为△AEF是等边三角形，O为EF的中点，

所以AO⊥EF.

又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO?平面AEF，

所以AO⊥平面EFCB.

所以AO⊥BE.

（Ⅱ）取BC中点G，连接OG.

由题设知EFCB是等腰梯形， 所以OG⊥EF. 由（I）知AO⊥平面EFCB

又OG?平面EFCB, 所以OA⊥OG. 如图建立空间直角坐标系O-xyz， 则E（a,0,0），A（0，0，3a），

B（2，3（2-a），0），EA=（-a，0，3a）， BE=（a-2，3（a-2）,0）.

设平面ABE的法向量为n=（x,y,z）

? ?n?EA?0????ax?3az?0? 则： ? 即?

??n?BE?0???(a?2)x?3(a?2)y?0 令z=1，则x=3，y=-1.于是n=（3，-1,1）

平面AEF是法向量为p=（0,1,0） 所以cos（n，p）=

5n?p=. ?5np5 5 （Ⅲ）因为BE⊥平面AOC，所以BE⊥OC，即BE?OC?0. 因为BE=（a-2 ，3（a-2），0），OC=（-2，3（2-a），0），

2 所以BE?OC=-2（a-2）-3(a?2).

4 由BE?OC?0及0

3 由题知二维角F-AE-B为钝角，所以它的余弦值为?（18）（本小题13分） 解：（I）因为f(x)=ln（1+x）-ln（1-x），所以

11?，f?(0)=2. 1?x1?x 又因为f(0)=0，所以曲线y= f(x)在点（0 ，f(0)）处的切线方程为y=2x.

f?(x)=

x3 （Ⅱ）令g(x)=f(x)-2(x+)，则

32x42 g?(x)=f?(x)-2（1+x）=.

1?x2 因为g?(x)>0（0g(0)=0，x∈（0，1）， x3 即当x∈（0，1）时，f(x)>2(x+).

3

x3（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当k《2时，f(x)>k(x+)对x∈（0，1）恒成立.

3x3 当k>2时，令h(x)=f(x)- k(x+)，则

3kx4?2?k2 h?(x)=f?(x)-k（1+x）=. 21?xk?2k?2 所以当0?x?4时，h?(x)<0，因此h(x)在区间（0，4）上单调递减.

kk3xk?2 当0?x?4时，h(x)

3kx3 所以当K>2时，f(x)> k(x+)并非对x∈（0，1）恒成立.

3 综上可知，k的最大值为2。 （19）（本小题14分）

?b?1,?2?c解：（Ⅰ）由题意得??,解得a2=2.

2?a?a2?b2?c2.?x2?y2?1 故椭圆C的方程为2设M（xm，0）.

因为m≠0，所以-1

n?1x， mmm所以xm=，即M（，0）.

1?n1?n直线PA的方程为y-1=

（Ⅱ）因为点B与点A关于x轴对称，所以B（m，-n），

设N(xN,0)，\\则xN=

m. 1?n2“存在点Q（0，yQ）使得ZOQM=ZONQ等价”，“存在点Q（0，yQ）使得

OMOQ=

OQON”即yQ满足yQ?xMxN.

m2mm?n2?1， 因为xM?，xN?，21?n1?nm22?2. 所以yQ?xMxN?21?n所以yQ=2或yQ=-2.

故在y轴上存在点Q，使得?OQM=?ONQ.点Q的坐标为（0，2）或（0，-2）.