2015年北京市高考理科数学试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考

试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数i?2?i??

A．1?2i B．1?2i D．?1?2i

?x?y≤0，?2．若x，y满足?x?y≤1，则z?x?2y的最大值为

?x≥0，?

3 23．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A．??2，2? B．??4，0?

C．?1?2i

开始A．0 B．1 C．D．2

x=1，y=1，k=0 D．?0，?8?

4．设?，?是两个不同的平面，m是直线且m??．“m∥?”是“?∥?”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是

12正(主)视图11侧(左)视图C．??4，?4?

s=x-y，t=x+yx=s，y=tk=k+1否k≥3是输出(x，y)结束俯视图

A．2?5 B．4?5 C．2?25 D．5

6．设?an?是等差数列. 下列结论中正确的是

A．若a1?a2?0，则a2?a3?0 B．若a1?a3?0，则a1?a2?0 C．若0?a1?a2，则a2?a1a3 D．若a1?0，则?a2?a1??a2?a3??0

7．如图，函数f?x?的图像为折线ACB，则不等式f?x?≥log2?x?1?的解集是

y2CA-1OB2x

A．?x|?1?x≤0? B．?x|?1≤x≤1? C．?x|?1?x≤1? D．?x|?1?x≤2?

8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速

度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

59．在?2?x?的展开式中，x3的系数为 ．（用数字作答）

x210．已知双曲线2?y2?1?a?0?的一条渐近线为3x?y?0，则a? ．

aπ??11．在极坐标系中，点?2??到直线?cos??3sin??6的距离为 ．

3??sin2A12．在△ABC中，a?4，b?5，c?6，则． ? sinC13．在△ABC中，点M，N满足AM?2MC，BN?NC．若MN?xAB?yAC，则x? ；y? ．

???2x?a?x?1??14．设函数f?x???

4x?ax?2a?x≥1.?????? ①若a?1，则f?x?的最小值为 ；

．

②若f?x?恰有2个零点，则实数a的取值范围是

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）

xxx已知函数f(x)?2sincos?2sin2．

222(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期； (Ⅱ) 求f(x)在区间[?π，0]上的最小值． 16．（本小题13分）

A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16 B组：12，13，15，16，17，14，a

假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．

(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；

(Ⅱ) 如果a?25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

17．（本小题14分）

如图，在四棱锥A?EFCB中，平面AEF?平面EFCB，BC?4，EF∥BC，△AEF为等边三角形，EF?2a，?EBC??FCB?60?，O为EF的中点． (Ⅰ) 求证：AO?BE；

(Ⅱ) 求二面角F?AE?B的余弦值； (Ⅲ) 若BE?平面AOC，求a的值．

AFCOEB 18．（本小题13分）

1?x． 1?x（Ⅰ）求曲线y?f?x?在点?0，f?0??处的切线方程；

已知函数f?x??ln?x3?1?时，f?x??2?x??； （Ⅱ）求证：当x??0，3???x3?1?恒成立，求k的最大值． （Ⅲ）设实数k使得f?x??k?x??对x??0，3??