数学高三一轮复习用书全套（1000页）

题型1 判断函数的奇偶性

例1 判断下列函数的奇偶性：

1－x

(1) f(x)＝lg；

1＋x1－x2(2) f(x)＝；

|x＋2|－2(3) f(x)＝(x－1)

1＋x

； 1－x

(4) f(x)＝3－x2＋x2－3.

1－x

解：(1) >0－1

1＋x

1－x?－11＋x1－x?又f(－x)＝lg＝lg?＝－lg＝－f(x)，故原函数是奇函数． ?1－x1＋x?1＋x?

(2) 去掉绝对值符号，根据定义判断．

2

???1－x≥0，?－1≤x≤1，由?得? ?|x＋2|－2≠0，??x≠0且x≠－4.?

故f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x＋2＞0.

1－x21－x2从而有f(x)＝＝，

xx＋2－2

1－（－x）21－x2这时有f(－x)＝＝－＝－f(x)，

x－x

故f(x)为奇函数．

(3) 因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(4) 因为f(x)定义域为{－3，3}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数． 备选变式（教师专享） 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；

2??x＋x（x<0），

(2) f(x)＝? 2

?－x＋x（x>0）；?

(3) f(x)＝lg(x＋x2＋1)．

解：(1) 函数的定义域为R，f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)，故f(x)为偶函数．

(2) 因为函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－(x2＋x)＝－f(x)(x＜0)．当x＞0时，－x＜0，所以f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝－(－x2＋x)＝－f(x)(x＞0)．故函数f(x)为奇函数．

(3) 由x＋x2＋1>0，得x∈R，由f(－x)＋f(x)＝lg(－x＋x2＋1)＋lg(x＋x2＋1)＝lg1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．

题型2 函数奇偶性的应用

a·2x＋a－2

例2 (1) 设a∈R，f(x)＝(x∈R)，试确定a的值，使f(x)为奇函数；

2x＋1

(2) 设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a－2)－f(4－a2)<0，求实数a的取值范围．

解：(1) 要使f(x)为奇函数，

∵ x∈R，∴ 需f(x)＋f(－x)＝0.

第41页 2

∵ f(x)＝a－x，

2＋1

＋2x12

∴ f(－x)＝a－－x＝a－x.

2＋12＋1

x＋1

2??2?2（2x＋1）?由a－2x＋1＋?a－x?＝0，得2a－＝0，∴ a＝1. ???2＋1?2x＋1

?－1

(2) 由f(x)的定义域是(－1，1)，知?解得3

?－1<4－a<1，?

2

由f(a－2)－f(4－a)<0，得f(a－2)

由于f(x)在(0，1)上是增函数，∴ |a－2|<|4－a2|，解得a<－3或a>－1且a≠2. 综上，实数a的取值范围是3

?x2＋x，x≤0，?

(1) 已知函数f(x)＝?2是奇函数，求a＋b的值；

?ax＋bx，x>0?

(2) 已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]内递减，若f(1－m)＋f(1－2

m)<0，求实数m的取值范围．

解：(1) 当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x2－x＝－ax2－bx. 从而a＝－1，b＝1，所以a＋b＝0. (2) 由f(x)的定义域是[－2，2]， ??－2≤1－m≤2，知?解得－1≤m≤3. 2

?－2≤1－m≤2，?

因为函数f(x)是奇函数，所以f(1－m)<－f(1－m2)，即f(1－m)m2－1，解得－2

3x

例3 定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0，2)时，f(x)＝x.求f(x)

9＋1

在[－2，2]上的解析式．

－3x3x

解：当－2＜x＜0时，0＜－x＜2，f(－x)＝－x＝x，

9＋19＋1

又f(x)为奇函数，

3x

∴ f(x)＝－f(－x)＝－.

1＋9x当x＝0时，由f(－0)＝－f(0)f(0)＝0， ∵ f(x)有最小正周期4，

∴ f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)f(－2)＝f(2)＝0.

3x

，0＜x＜2，9x＋1

?

综上，f(x)＝?0，x∈{－2，0，2}，

3－?9＋1，－2＜x＜0.

xx备选变式（教师专享）

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.

(1) 求证：f(x)是周期函数；

(2) 当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式．

第42页 (1) 证明：∵ f(x＋2)＝－f(x)， ∴ f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴ f(x)是周期为4的周期函数． (2) 解：∵ x∈[2，4]，

∴ －x∈[－4，－2]，∴ 4－x∈[0，2]， ∴ f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8. ∵ f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，

∴ －f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．

1. (2015·苏北四市一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝log2(2－x)，则f(0)＋f(2)的值为________．

答案：－2

解析：f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，f(－2)＝2＝－f(2)，即f(2)＝－2，则f(0)＋f(2)＝－2.

1

2. (2015·南师附中模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对

2

称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________．

答案：0

1

解析：f(－0)＝－f(0)得f(0)＝0，假设f(n)＝0，因为点(－n，0)和点(n＋1，0)关于x＝对

2

称，所以f(n＋1)＝f(－n)＝－f(n)＝0，因此，对一切正整数n都有f(n)＝0，

从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.

2x

3. 定义两种运算：ab＝a2－b2，ab＝（a－b）2，则f(x)＝是

（x2）－2

________(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)函数．

答案：奇

2x4－x2222解析：由ab＝a－b和ab＝（a－b），得f(x)＝＝（x2）－2（x－2）2－24－x24－x24－x2＝，其定义域为[－2，0)∪(0，2]，所以f(x)＝＝－，所以f(x)

x|x－2|－2（2－x）－2

是奇函数．

2??x＋sinx，x≥0，

4. (2015·泰州一模)已知函数f(x)＝?2

?－x＋cos（x＋α），x＜0?

是奇函数，则sinα＝________． 答案：－1

解析：x>0时，有－x<0，f(－x)＝－x2＋cos(－x＋α)＝－f(x)＝－x2－sinx，则cos(－x＋

π

α)＝－sinx，cos(x－α)＝－sinx，取x＝，得sinα＝－1.

2

5. 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)·f(x)＝1对于x∈R恒成立，且f(x)>0，则f(119)＝________．

答案：1

1

解析：由f(x＋2)·f(x)＝1得f(x＋2)＝，从而得f(x＋4)＝f(x)，可见f(x)是以4为周

f（x）

1

期的函数，从而f(119)＝f(4×29＋3)＝f(3)．由已知等式得f(3)＝，又由f(x)是R上的

f（1）

偶函数得f(1)＝f(－1)，在已知等式中令x＝－1得f(1)·f(－1)＝1，即f(1)＝1，所以f(119)＝1.

第43页 ax＋1

1. 已知函数f(x)＝(a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)<3，则a＋b＋c的值为

bx＋c

________．

答案：2

解析：由f(－x)＝－f(x)，得－bx＋c＝－(bx＋c)，∴ c＝0.由f(1)＝2，得a＋1＝2b；由

4a＋11

f(2)＜3，得＜3，解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴ a＝0或a＝1.若a＝0，则b＝，与b∈Z

2a＋1

矛盾．∴ a＝1，b＝1，c＝0. ∴ a＋b＋c＝2.

2. 若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(3)＝0，则xf(x)<0的解集是________． 答案：{x|－3

解析：因为f(x)在(0，＋∞)内是增函数，f(3)＝0，所以当03时，f(x)>0.因为f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以当－30；当x<－3时，f(x)<0，可见xf(x)<0的解集是{x|－3

3. 定义在区间(－1，1)上的函数f(x)满足：对任意的x，y∈(－1，1)，都有f(x)＋f(y)＝x＋y??f??. 求证：f(x)为奇函数． ?1＋xy?

?0＋0?＝f(0)，

证明：令x ＝ y ＝ 0，则f(0)＋f(0)＝f???1＋0?

∴ f (0) ＝ 0.令x∈(－1, 1)，∴ －x∈(－1, 1)．

?x－x?＝f(0)＝0.

∴ f(x)＋f(－x)＝f???1－x2?

∴ f(－x)＝－f(x) .∴ f(x)在(－1，1)上为奇函数．

1?

4. 已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，如果f(ax＋1)≤f(x－2)在x∈??2，1?上恒成立，求实数a的取值范围．

解：由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，则在(－∞，0]上为减函数，由f(ax

1?

＋1)≤f(x－2)，则|ax＋1|≤|x－2|.又x∈??2，1?，故|x－2|＝2－x，

1?31

即x－2≤ax＋1≤2－x，即x－3≤ax≤1－x，即1－≤a≤－1，在??2，1?上恒成立． xx

1?3

－1＝0，?1－?＝－2，故－2≤a≤0. 由于??x?min?x?max

1. 函数奇偶性的判断，本质是判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，前提是定义域关于原点对称，运算中，也可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0或f(x)－f(－x)＝0)是否成立．

2. 若f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

3. 奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函数在对称的区间上有相反的单调性．

请使用课时训练(A)第4课时(见活页)．

[备课札记]

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