数学高三一轮复习用书全套（1000页）

课堂过关

第一章 集合与常用逻辑用语

第1课时 集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～2页)

了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．

① 学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系. ② 学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化. ③ 集合含义中掌握集合的三要素. ④ 不要求证明集合相等关系和包含关系．

1. (必修1P7第1题改编)集合{x∈N|x<5}可以用列举法表示为________． 答案：{0，1，2，3，4}

解析：∵ x<5且x∈N，∴ x＝0，1，2，3，4，特别注意0∈N.

2. (必修1P7第4题改编)已知集合A＝{(x，y)|－1≤x≤1，0≤y<2，x、y∈Z}，用列举法可以表示集合A为________．

答案：{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}

??－1≤x≤1，x∈Z，

解析：用集合A表示不等式组?确定的平面区域上的格点集合，所以

?0≤y<2，y∈Z?

用列举法表示集合A为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．

3. (必修1P17第6题改编)已知集合A＝[1，4)，B＝(－∞，a)，A? B，则a∈________． 答案：[4，＋∞)

解析：在数轴上画出A、B集合，根据图象可知．

4. (必修1P7第4题改编)由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值不可以是________．

答案：0和1

解析：由x2＝x可解得．

5. (必修1P17第8题改编)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________个．

答案：10

解析：x＝5，y＝1，2，3，4，x＝4，y＝1，2，3，x＝3，y＝1，2，x＝2，y＝1，共10个．

1. 集合的含义及其表示

(1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．

(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．

(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法．

(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属

第1页 性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．

(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C．

2. 两类关系

(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系． (2) 集合与集合之间的关系

① 包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为A? B或B? A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．

② 真包含关系：如果A?B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”．

③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素，则称这两个集合相等．

(3) 含有n个元素的集合的子集共有2n个，真子集共有2n－1个，非空子集共有2n－1

个，非空真子集有2n－2个.

题型1 集合的基本概念

例1 已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}． (1) 若A是空集，求a的取值范围；

(2) 若A中只有一个元素，求a的值，并将这个元素写出来； (3) 若A中至多有一个元素，求a的取值范围．

9

解： (1) 若A是空集，则Δ＝9－8a＜0，解得a＞.

8

99

(2) 若A中只有一个元素，则Δ＝9－8a＝0或a＝0，解得a＝或a＝0；当a＝时，这

88

42

个元素是；当a＝0时，这个元素是.

33

9

(3) 由(1)(2)知，当A中至多有一个元素时，a的取值范围是a≥或a＝0.

8

变式训练

下列三个集合：① {x|y＝x2＋1}；② {y|y＝x2＋1}；③ {(x，y)|y＝x2＋1}． (1) 它们是不是相同的集合？ (2) 它们的各自含义是什么？ 解：(1) 它们是不相同的集合．

(2) 集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，

22

所以{x|y＝x＋1}＝R.集合②是函数y＝x＋1的所有函数值y组成的集合．由二次函数图象知y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③是函数y＝x2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．

备选变式（教师专享）

已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．

解：∵ －3∈A，∴ －3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.

题型2 集合间的基本关系

例2 若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B? A，求由m的可取值组成的集合．

解：当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝?，满足B?A；

第2页 若B≠? ，且满足B?A，如图所示，?m＋1≤2m－1，?m≥2，则?m＋1≥－2，

?

??2m－1≤5，

即?m≥－3，∴ 2≤m≤3.

?

??m≤3，

故m<2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}． 变式训练

b??

已知集合A＝?a，a，1?，集合B＝{a2，a＋b，0}，若A＝B，求a2 014＋b2 015的值．

??

b

解：由于a≠0，由＝0，得b＝0，则A＝{a，0，1}，B＝{a2，a，0}．由A＝B，可得

a

22

a＝1.又a≠a，则a≠1，则a＝－1.所以a2 014＋b2 015＝1.

备选变式（教师专享）

若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可取值组成的集合． 解：P＝{－3，2}．当a＝0时，S＝?，满足S?P；当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为11111

x＝－，为满足S?P可使－＝－3或－＝2，即a＝或a＝－.故所求a的取值的集合为

aaa3211??

?0，，－?.

32??

题型3 根据集合的关系求参数的取值范围

1??

－

求实数a的取值范围．

解：当a＝0时，显然B?A；

当a<0时，若B?A，如图，

41

≤－，?a≥－8，a2?1则∴ ?1 ∴ －2

1a>－，?2?－>2，a

??????

当a>0时，如图，若B?A，

11

－≤－，?a2?a≤2，则∴ ?∴ 0

4?a≤2，?≥2，a

1

综上知，当B?A时，－

2

备选变式（教师专享）

已知A＝{－1，1}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}．若B?A，求实数a，b的值． 解：∵ B?A＝{－1，1}，

∴ B＝?或B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1，1}． 若B＝?，则方程x2－ax＋b＝0无实数根， 即Δ＝(－a)2－4×1×b<0，此时a2<4b.

若B＝{－1}，则方程x2－ax＋b＝0有且只有一个实数根－1，即Δ＝(－a)2－4b＝0，且(－1)2－a×(－1)＋b＝0，

此时a＝－2，b＝1.

若B＝{1}时，则方程x2－ax＋b＝0有且只有一个实数根1， 即Δ＝(－a)2－4b＝0，且12－a×1＋b＝0， 此时a＝2，b＝1.

第3页 若B＝{－1，1}，则方程x2－ax＋b＝0有两个不相等的实数根－1，1，即(－1)2－a×(－1)＋b＝0，12－a×1＋b＝0，此时a＝0，b＝－1.

综上所述，当a2<4b时，不论a，b取何值，A?B； ??a＝－2，??a＝2，??a＝0，??当或或?时，B?A. ?b＝1?b＝1?b＝－1??? 1. (2015·南京、盐城一模)设集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N?M，则实数x的值为________．

答案：1

解析：由N?M知1∈M，则x＝1. 2. (2015·南师附中模拟)若A＝{a}，B＝{0，a2}，A?B，则A＝________． 答案：{1}

解析：若a＝0，则a2＝0，B中元素不满足互异性；若a＝a2，则a＝0(舍)或a＝1(满足互异性)．

11??

3. 若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝?－1，0，2，2，3?的所

x??

有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．

答案：3

1

解析：具有伙伴关系的元素组是－1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，

2

1??1??

?，2?，?－1，，2?.

2??2??

4. 已知集合M?{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合共有________个． 答案：6

解析：当M中奇数只有3时：{3}，{2，3}；当M中奇数只有5时：{5}，{2，5}；当M 中奇数有3，5时：{3，5}，{2，3，5}，∴ 共有6个这样的集合．

b??

5. (2015·昌平期中)若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝?0，a，b?，求b－a的值．

??

b??

解： 由{1，a＋b，a}＝?0，a，b?可知a≠0，则只能a＋b＝0，则有以下对应法则：

??

a＋b＝0，a＋b＝0，

??b

?a＝a，??b＝1??b＝a，

① 或?

b??a＝1.

②

??a＝－1，

由①得?符合题意；②无解．∴ b－a＝2.

??b＝1，

1. (2015·浙江)已知集合A{x|x－x－2<0}，B＝{x|－1

解析：A＝{x|－1

答案： 3

解析：容易看出x＋y只能取－1、1、3这三个数值．故共有3个元素.

??ax－1?

<0?，且2∈A，3? A，则实数a的取值范围是________． 3. 已知集合A＝?x?

??x－a?

2

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