第一章 行列式 习题及答案

第一章 行列式习题

1. n阶行列式D的值为c，若将D的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次序向左移动，则得到的行列式值为 。 （(-1)n-1c）

2. n阶行列式D的值为c，若将D的所有元素改变符号，得到的行列式值为 。 （(-1)nc） 3. N(2k,1,2k-1,2,?,k+1,k)=(2k-1)+0+(2k-3)+0+?+1=k+4x1x32333x6316xk(k-1)2?2k。

24. 由行列式的定义计算行列式

x2x展开式中x和x的系数。 （-12x3, 12x4）

43（分析：x的系数：四个元素中必须全都包含x。第一行只能取a11，第三行只能取a33，这样第二、四

行只能取a22和a44，则此项为(?1)x的系数：(?1)34N(1234)a11a22a33a44?4x?x?3x?x?12x。

N(4231)4N(2134)a12a21a33a44?(?1)a41a22a33a14??3x?9x??12x。）

33317199719905750575l1l2l3l439595. 已知1703，3159，975，10959能被13整除，不直接计算行列式

3010的值，证明他是13的倍数。

1719905753959证明：

3010c4?1000?c1c4?100?c2c4?10?c313010719905751703315997510959?13?13010，能被13整除。

1719905753959?1703315997510959719905753959注意，以下两个行列式：

3010，所以一定要加到最后一列上。

31200?131324?1?321200?131324?1?3?0。

6. 设行列式D??521，求2A11?4A21?A31?3A41及?M21?M23?2M24。 （0和-5）

解：2A11?4A21?A31?3A41?4?1?3 1

3?M21?M23?2M24?A21?0?A22?A23?2A24?1211000?1?11322?1?3??5。

7. 计算行列式的值

a11a120a3200a23a330000a44?(?1)N(2134)(1)

a2100a21a12a33a44?(?1)N(1324)a11a32a23a44??a11a23a32a44?a12a21a33a44；

18238235496679860?123?131212000152349678613976（2）

154916671986122c1?c2c2?c3c3?c41000100010001000800500600900204060803976?10?61111856924683976?10?(?40)?4?10；

673?10100125836?(?1)90?223?21126?201??16；

（3）

3?2142580011???6243?236900（4）7000?43771?2?3?1?2?3?1537?0?(?8)?0；

1?x?1?1?x11?x11111?y11111?y?1?x?x?x?x1?x0010y0100?y?00a1a2a1?a22a1?a23a1?a2a3a1?a2?a33a1?2a2?a36a1?3a2?a3a4xy?xy1?x0010y010?0?yx0001?x0010y0100?y?xy。

22（5）

11108. 试证： D?a1a1a1a1?a2?a3?a44a1?3a2?2a3?a410a1?6a2?3a3?a4?a1。（课本第13页，例3）

4 2

a2222(a?1)(b?1)(c?1)(d?1)2222(a?2)(b?2)(c?2)(d?2)2222(a?4)(b?4)(c?4)(d?4)2222a?bcd22222a?12b?12c?12d?14a?44b?44c?44d?4x1y1y2y36a?96b?96c?96d?911?0 1a?bcd22222a?12b?12c?12d?122226666?0。

9. 求证：行列式D?bcd10. 求使得?x1,y1?，?x2,y2?，?x3,y3?位于同一直线上的充要条件。x2x3解：设直线方程为ax?by?c?0，将以上三点代入直线方程：

x1?ax1?by1?c?0?，只需令这个齐次线性方程组有非零解，系数行列式x2?ax2?by2?c?0（a,b,c为未知数）

?ax?by?c?0x33?3??x1?x2?x3?0?11. 求?为何值时，方程组?x1??x2?x3?0有非零解。 （??1）

?3x?x?x?023?1y1y2y311?0。 1?111?0，则有??1。 1解：系数行列式13??1?x1?a1x2?a12x3???a1n?1xn?1?2n?1?x1?a2x2?a2x3???a2xn?112. 设a1,a2,?,an为互不相等的常数，求解线性方程组?

???x?ax?a2x???an?1x?1n2n3nn?11a1a2?ana1n?1n?1a122????a1n?1n?1解：系数行列式D?1?1a2?ana2?an?0，方程组有唯一解， （x1?1,x2?0,?,xn?0）

2n?11D1?1?1a1a2?ana122????1?D，D2?1?1?1，x2?D2D11?1a122????a1n?1n?1a2?ana2?ana2?ana2?an?0，同理D2?D3???Dn?0，由克莱姆

2n?12n?1法则，方程组的解为：x1?D1D?0，…，xn?DnD?0。

112?x33222113359?x2补充： 计算下列行列式：1. D?122??3(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)

解：设D?f(x)，则f(?1)?f(?2)?0，则D?c(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)，而

3

1f(0)?122123322113359?10201130201030541?2021035?4?(1?4)??12， 4同时f(0)?c?(?1)?1?(?2)?2?4c??12，因此c??3，即D??3(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)。

1?a12a1a21?a2?2a1ana2an2. Dn?a1a2?n （1??a2i）

????aa21an2an?1?an1a1a2?an101?a21a1a2?a1an?a1D2n?0a1a21?a2?a2an??a2??????0a1ana2an?1?a2n?ann ?1??a2ii?1 a1a2?10?01????00?4

i?1an1?a221???an000?0??10a1a2?10?01????00?an00?1