2019-2020年高考数学 第1部分 重点强化专题 专题1 三角函数与平面向量 突破点3 平面向量教学案

2019-2020年高考数学 第1部分 重点强化专题 专题1 三角函数

与平面向量 突破点3 平面向量教学案

(对应学生用书第14页)

[核心知识提炼]

提炼1 平面向量共线、垂直的两个充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 提炼2 数量积常见的三种应用

已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)证明向量垂直：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的长度：|a|＝a·a＝x1＋y1. (3)求向量的夹角：cos〈a，b〉＝

2

2

a·bx1x2＋y1y2

＝22. 2|a||b|x1＋y1·x22＋y2提炼3平面向量解题中应熟知的常用结论

→→→

(1)A，B，C三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，有OA＝λOB＋μOC，且λ＋μ＝1. →1→→

(2)C是线段AB中点的充要条件是OC＝(OA＋OB)．

2→→→

(3)G是△ABC的重心的充要条件为GA＋GB＋GC＝0，若△ABC的三个顶点坐标分别为A(x1，

x1＋x2＋x3y1＋y2＋y3

y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标为，. 33→→→→→→

(4)PA·PB＝PB·PC＝PA·PC?P为△ABC的垂心． (5)非零向量a，b垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0. (6)向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ＝ 向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ＝

a·b， |a|

a·b. |b|[高考真题回访]

回访1 平面向量的线性运算

1．(2017·浙江高考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．

4 25 [设a，b的夹角为θ. ∵|a|＝1，|b|＝2， ∴|a＋b|＋|a－b|＝

a＋b2

＋a－b2

＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y＝5＋4cos θ＋5－4cos θ， 则y＝10＋225－16cos θ.

∵θ∈[0，π]，∴cosθ∈[0,1]，∴y∈[16,20]， ∴y∈[4,25]，即|a＋b|＋|a－b|∈[4,25]．] 2．(2014·浙江高考)记max{x，y}＝?

平面向量，则( )

A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

?x，x≥y，?

??y，x

2

2

2

2

min{x，y}＝?

?y，x≥y，?

??x，x

设a，b为

C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2

D．max{|a＋b|，|a－b|}≥|a|＋|b|

D [由于|a＋b|，|a－b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大

小有关，故A，B错．当a，b夹角为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时，|a＋b|>|a|＋|b|；当a，b夹角为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时，|a－b|>|a|＋|b|；当a⊥b时，|a＋

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.]

3．(2014·浙江高考)设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.( )

【导学号：68334048】

A．若θ确定，则|a|唯一确定 B．若θ确定，则|b|唯一确定 C．若|a|确定，则θ唯一确定 D．若|b|确定，则θ唯一确定

B [|b＋ta|＝b＋2a·b·t＋ta＝|a|t＋2|a|·|b|cos θ·t＋|b|. 因为|b＋ta|min＝1，

4|a|·|b|－4|a|·|b|cosθ22

所以＝|b|(1－cosθ)＝1. 2

4|a| 所以|b|sinθ＝1，所以|b|sin θ＝1，即|b|＝ 即θ确定，|b|唯一确定．] 回访2 平面向量的数量积及其应用

2

22

2

2

2

2

2

2

22

22

2

1

. sin θ

1

4．(2013·浙江高考)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点

4

P, 恒有PB·PC≥P0B·P0C，则( )

A．∠ABC＝90° C．AB＝AC

B．∠BAC＝90° D．AC＝BC →→→→

→→→→→2→→

D [A项，若∠ABC＝90°，如图，则PB·PC＝|PB|·|PC|cos∠BPC＝|PB|，P0B·P0C＝→2→2→2→→→→

|P0B|.当点P落在点P0的右侧时，|PB|＜|P0B|，即PB·PC＜P0B·P0C，不符合；

→→→→→→→→

B项，若∠BAC＝90°，如图，则PB·PC＝|PB|·|PC|cos∠BPC＝－|PB|·|PA|，P0B·P0A→→

＝－|P0B||P0A|＝－3.

→→

当P为AB的中点时，PB·PC＝－4， →→→→

PB·PC＜P0B·P0C，不符合；

→→→→

C项，若AB＝AC，假设∠BAC＝120°，如图，则AC′＝2，PB·PC＝|PB|·|PC|cos∠BPC→→→→→→→→

＝－|PB||PC′|，P0B·P0C＝|P0B||P0C|cos∠BP0C＝－|P0B||P0C′|＝－5.当P落在A点→→→→→→

时，－|PB||PC′|＝－8，所以PB·PC＜P0B·P0C，不符合．故选D.]

5．(2016·浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________. 【导学号：68334049】

7 [∵a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1×2×cos〈a，b〉＝1，

1

∴cos〈a，b〉＝，

2 ∴〈a，b〉＝60°.

以a的起点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系， 则a＝(1,0)，b＝(1，3)． 设e＝(cos θ，sin θ)，

则|a·e|＋|b·e|＝|cos θ|＋|cos θ＋3sin θ| ≤|cos θ|＋|cos θ|＋|3sin θ| ＝2|cos θ|＋3|sin θ| ≤ ＝7.]

1

6．(2015·浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1

2＝b·e2＝1，则|b|＝________.

231

[∵e1·e2＝， 32

θ|＋|sin θ|

2

2

2

＋

1

∴|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝60°.

2 又∵b·e1＝b·e2＝1>0，∴〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30°. 由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝

12

7．(2013·浙江高考)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹π|x|

角为，则的最大值等于________．

6|b| 2 [根据题意，得

23

＝.] 33

?|x|? ??

?|b|?

2

＝

x2xe1＋ye2

2＝

xe1

x2

2＋ye2

2＋2xye1·e2

＝

x2

π

x＋y＋2xycos

6

2

2

＝

x2

1

x2＋y2＋3xy ＝

1

3y?y3?21?y?2

1＋??＋?＋?＋

x?x??x2?4

＝.

因为?＋?y?x|x||x|3?211?|x|?2

?＋4≥4，所以0＜?|b|?≤4，所以0＜|b|≤2.故|b|的最大值为2.]

??2?

(对应学生用书第15页) 热点题型1 平面向量的运算

题型分析：该热点是高考的必考点之一，考查方式主要体现在以下两个方面：一是以平面图形为载体考查向量的线性运算；二是以向量的共线与垂直为切入点，考查向量的夹角、模等. 【例1】 (1)(2017·杭州第二次调研)在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB