数学分析教案(华东师大版)上册全集1-10章

例3

例4

例5 证明极限 不存在.

二.

证 对 有

例6 特别当 等.

例7

例8

例9

§5无穷小量与无穷大量 阶的比较（2学时）

教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。 教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

一. 无穷小量: 定义. 记法.

例1 判断: ⑴ 可怜虫是很小很可怜的虫; ( ) ⑵ 无穷小量是很小很小的量. ( ) 无穷小的性质:

性质1 ( 无穷小的和差 ) 性质2 ( 无穷小与有界量的积 )

例2

无穷小与极限的关系:

Th 1

二. 无穷小的阶: 设

时

1． 高阶（或低阶）无穷小： 2． 同阶无穷小： 三． 等价无穷小：

Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 ) 几组常用等价无穷小: （见[2]）

例3 时, 无穷小

与

是否等价?

证 )

( 例4

四. 无穷大量:

1. 定义: 2. 性质:

性质1 同号无穷大的和是无穷大. 性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质3 与无界量的关系.

无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.

3. 无穷小与无穷大的关系:

无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大

习 题 课（2学时）

一、理论概述： 二、范例讲析：

例1 设数集无界.试证明:存在数列{

}

使

例2 设 是函数

在

为定义在

上有上界.

上的递增函数. 证明: 极限

存在的充要条件

例3 证明: 对

其中是Riemann函数.

例4 设函数

定义在

内, 且满足条件 ⅰ>

ⅱ> 对

有 试证明

是

内的常值函数.

例5 求极限

{注意

=

有界}

例6

求 和 .

解法一

又

解法二

，即

， 由

且原式极限存在，

.

例7 . 求

.

注意

时, 且

. 先求

由Heine归并原则

即求得所求极限

.

例8 求否存在.

和.并说明极限 是