吉林省长春市2017届高考数学三模试卷（理科） Word版含解析

当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值． （2）要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证：

只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）． 设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），

，

∴F（x）＞F（0）=0，

故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）， 即f（e+x）＞f（e﹣x），

（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e， 由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2）， 又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减， ∴2e﹣x1＜x2，即x1+x2＞2e， ∴

，∴f'（x0）＜0．

，

【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）

22．（10分）（2017?长春三模）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半

轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l：

（

为参数）．

（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程； （2）若曲线C2的参数方程为为

（α为参数），曲线P（x0，y0）上点P的极坐标

，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程； （

2

）

，

直

角

坐

标

为

（

2

，

2

）

，

，利用点到直线l的距离公式能求出点

M到直线l的最大距离．

【解答】解：（1）由曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，得直角坐标方程

，

直线l：，消去参数，可得普通方程l：x+2y﹣3=0．

（2），直角坐标，

为（2，2），

M到l的距离d=分）

=，从而最大值为．（10

【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，参数方程的运用．

[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）

23．（2017?长春三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1． （1）求证：2a+b=2；

（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值． 【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．

【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可； （2）法一，二：问题转化为

≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出

的最小值，

从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．

【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|， ∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，

∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+， ∴a+=1，2a+b=2；

法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，

显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增， ∴f（x）的最小值为f（）=a+， ∴a+=1，2a+b=2．

（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴

≥t恒成立，

+

）

，

=+=（+）（2a+b ）?=（1+4+当a=b=时，

取得最小值，

∴≥t，即实数t的最大值为； 方法二：∵a+2b≥tab恒成立， ∴t≤

≥t恒成立， =+恒成立，

≥

=，

+=+

∴≥t，即实数t的最大值为； 方法三：∵a+2b≥tab恒成立， ∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，

2

∴2ta﹣（3+2t）a+4≥0恒成立， 2

∴（3+2t）﹣326≤0，

∴≤t≤，实数t的最大值为．

【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．