吉林省长春市2017届高考数学三模试卷（理科） Word版含解析

值为1，2，3，利用超几何分布列的计算公式即可得出．

【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：

由图可得女性用户更稳定．（4分）

（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，所以X的分布列为

X P 1 ．（12分）

【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、分层抽样，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．（12分）（2017?长春三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点． （1）求证：PD⊥平面ABE； （2）若F为AB中点，弦值为

．

，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余

2 3 ；P（X=2）=

=；

．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．

（II） 以A为原点，以

为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，

求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB， 又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE，∴PD⊥平面ABE． （II） 以A为原点，以令|AB|=2，

为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，

则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），

，

，

，M（2λ，2λ，2﹣2λ）

设平面PFM的法向量，，即，

设平面BFM的法向量，，

即，

，解得．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

20．（12分）（2017?长春三模）已知F1，F2分别是长轴长为

的椭圆C：

的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2

O为坐标原点，的一个动点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为（1）求椭圆C的方程；

．

（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是的取值范围．

【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由已知2a=2=

?

，解得a=

，记点P（x0，y0），kOM=

，可得kOM?，求线段AB长

利用斜率计算公式及其点P（x0，y0）在椭圆上，即可得出．

2222

（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程得（2k+1）x+4kx+2k﹣2=0，记A（x1，

y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式即可得出． 【解答】解：（1）由已知2a=2∵kOM=

，∴kOM?

=

，解得a=?

=

，记点P（x0，y0）， ?

=

，

又点P（x0，y0）在椭圆上，故

+

=1，∴kOM?=﹣=﹣，

∴

2

，∴b=1，∴椭圆的方程为

．（4分）

（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程，

2222

得（2k+1）x+4kx+2k﹣2=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）．

由韦达定理可得，

可得，

故AB中点，

QN直线方程：，

∴，已知条件得：

2

，∴0＜2k＜1，

∴，

∵，∴．（12分）

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率 计算公式、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．（12分）（2017?长春三模）已知函数（1）求f（x）的极值；

（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；

（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；

（2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可． 【解答】解：（1）f′（x）=

，f（x）的定义域是（0，+∞），

．

x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．