吉林省长春市2017届高考数学三模试卷（理科） Word版含解析

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.

13．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是 15斤 ．

【考点】等差数列的通项公式．

【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，由等差数列的前n项和得答案． 【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2， 则S5=

∴金杖重15斤． 故答案为：15斤．

【点评】本题考查等差数列的前n项和，是基础的计算题．

14．函数f（x）=ex?sinx在点（0，f（0））处的切线方程是 y=x ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

xx

【解答】解：∵f（x）=e?sinx，f′（x）=e（sinx+cosx），（2分）

，

f′（0）=1，f（0）=0，

∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为 y﹣0=1×（x﹣0）， 即y=x（4分）． 故答案为：y=x．

【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

15．直线kx﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长的最小值为 2 ．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点的距离为

，因此最短弦长为

．

【解答】解：由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点（0，1））的距离为

，当圆心到直线kx﹣3y+3=0的距离最大时（即等于圆心（1，3）

=

．

到定点（0，1））的距离）所得弦长的最小，因此最短弦长为2故答案为：2

．

【点评】题考查直线和圆的位置关系，以及最短弦问题，属于中档题

16．过双曲线

﹣

=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相

交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为 ．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=式即可得到；

方法二、设过左焦点F作

的垂线方程为

，联立渐近线方程，求得交点A，，求得渐近线的斜率，运用离心率公

B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率． 【解答】解法一：由

，

则Rt△OAB中，∠AOB=渐近线OB的斜率k==tan即离心率e==

解法二：设过左焦点F作

=， =

， ．

的垂线方程为

，可知A为BF的中点，由条件可得

联立，解得，，

联立，解得，，

又

22

，∴yB=﹣2yA∴3b=a，

所以离心率．

故答案为：．

【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（12分）（2017?长春三模）已知点数

．

，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函

（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；

（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．

【考点】平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用． 【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．

（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值． 【解答】解：（1）∵∴∴当

（2）∵f（A）=4，∴又∵BC=3，∴

，

时，f（x）取得最小值2．

，

，

，

2

∴9=（b+c）﹣bc．

，

∴∴

，

，当且仅当b=c取等号，

．

∴三角形周长最大值为

【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．

18．（12分）（2017?长春三模）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下： 女性用户 分值区间 频数 男性用户 分值区间 频数 [50，60） 20 [50，60） 45 [60，70） 40 [60，70） 75 [70，80） 80 [70，80） 90 [80，90） 50 [80，90） 60 [90，100] 10 [90，100] 30 （1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；

（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（I）根据已知可得频率，进而得出矩形的高=

，即可得出图形．

（II）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取