山东省临沂、枣庄市2019届高三第二次模拟预测数学(理)试题(解析版)

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数，0＜α

＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，若|AB|＝8，求α值． 【分析】（1）由ρ＝

，得ρsinθ＝2cosθ，∴ρsinθ＝2ρcosθ．，y＝2x．

2

2

2

2

（2）根据参数t的几何意义可得． 【解答】解：（1）由ρ＝

，得ρsinθ＝2cosθ，∴ρsinθ＝2ρcosθ．即y＝2x．

2

2

2

2

2

2

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程得：tsinα﹣2tcosα﹣1＝0， △＝（﹣2cosα）+4sinα＝4＞0， 设t1，t2是方程的根，则t1+t2＝

，t1t2＝﹣

，

2

2

∴|AB|＝|t1﹣t2|＝

∴sinα＝，又0＜α＜π， ∴sinα＝，∴α＝

或

．

2

＝＝＝8，

【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． [选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+a|，g（x）＝x+2． （1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （2）设

，且当

，求a的取值范围．

【分析】（1）分3段去绝对值解不等式在相并； （2）分离参数后转化为最值使不等式成立．

【解答】解：（1）当a＝﹣1时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|x﹣1|﹣x﹣2＜0， （i）当x≤时，不等式化为﹣（2x﹣1）﹣（x﹣1）﹣x﹣2＜0，解得0＜x

．

（ii）当＜x≤1时，不等式化为2x﹣1﹣（x﹣1）﹣x﹣2＜0，解得＜x≤1， （iii）当x＞1时，不等式化为2x﹣1+x﹣1﹣x﹣2＜0，解得1＜x＜2 综上，原不等式的解集为（0，2）． （2）由﹣a≤x又0≤x+a＜+a，

则f（x）＝﹣（2x﹣1）+x+a＝﹣x+a+1， ∴不等式f（x）≤g（x）化为﹣x+a+1≤x+2， 得a≤2x+1对x∈[﹣a，）都成立， 故a≤﹣2a+1，即a

，

，得﹣2a≤2x＜1，﹣2a﹣1≤2x﹣1＜0，

又a＞﹣，故a的取值范围是（﹣，]．

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．