山东省临沂、枣庄市2019届高三第二次模拟预测数学(理)试题(解析版)

A．4﹣ B．8﹣π C．8﹣ D．8﹣2π

【分析】根据三视图，可得该几何体是正方体挖去一个半圆柱，利用三视图的数据求解即可．

【解答】解：由题意可得，几何体是正方体挖去一个半圆柱，如图： 故它的体积为（4﹣故选：B．

）×2＝8﹣π，

【点评】本题主要考查祖暅原理，利用三视图求几何体的体积，属于基础题． 12．（5分）已知双曲线

的右顶点A，抛物线c：y＝12ax的

2

焦点为F，若在E的渐近线上存在点P使得PA⊥FP，则E的离心率的取值范围是（ ） A．（1，2）

B．（1，

]

C．（2，+∞）

D．

【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设P（m，m），以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围． 【解答】解：双曲线

抛物线C：y＝12ax的焦点为F（3a，0）， 双曲线的渐近线方程为y＝±x， 可设P（m，m）， 即

＝（m﹣a，m），

＝（m﹣3a，m），

2

的右顶点A（a，0），

由PA⊥FP，可得＝0，

m＝0，

2

即为（m﹣a）（m﹣3a）+

化为（1+）m﹣4ma+3a＝0，

22

由题意可得△＝16a﹣4（1+

2

2

2

2

2

）?3a≥0，

2

即有a≥3b＝3（c﹣a）， 即3c≤4a， 则e＝≤

．

．

2

2

由e＞1，可得1＜e≤故选：B．

【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质，注意运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，则|﹣|＝ 5 ． 【分析】由向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，解得x＝3，从而4），由此能求出|﹣|的值．

【解答】解：∵向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直， ∴∴

＝x+1﹣4＝0，解得x＝3， ＝（3，4），

＝5．

＝（3，

∴|﹣|＝故答案为：5．

【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量的运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．（5分）已知二项式

展开式中含x项的系数为160，则实数a的值为 ﹣2 ．

3

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中含x项的系数，再根据含x项的系数为160，求得a的值． 【解答】解：二项式

展开式的通项公式为 Tr+1＝

3

3

3

（﹣a）?x?

3

r12﹣3r

，

令12﹣3r＝3，求得r＝3，可得展开中含x项的系数为则实数a＝﹣2， 故答案为：﹣2．

（﹣a）＝160， ?

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．

15．（5分）若数列{an}满足：的前n项和Sn为 2﹣

．

，则数列{an}

【分析】由已知可得数列{an}是以1为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的前n项和公式求解． 【解答】解：由得

∴2an＝2，即

n

，

（n≥2），

（n≥2），

由已知等式可得，2a1＝2，得a1＝1适合上式， ∴

，

又，

∴数列{an}是以1为首项，以为公比的等比数列，

则．

故答案为：．

【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．

16．（5分）如图，A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，若球O的表面积为24π，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为

．

【分析】推导出OP＝OC＝OA＝OB＝

，PA⊥AC，AC＝2

，PA＝2，以B为原点，

BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线PC与AB所成角的余弦值．

【解答】解：∵A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上， AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，球O的表面积为24π， ∴4πr＝24π，解得r＝∴OP＝OC＝OA＝OB＝AC＝

＝2

，PA＝

2

，

，PA⊥AC，

＝2，

以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则P（0，2，2），C（4，0，0），A（0，2，0），B（0，0，0）， ＝（4，﹣2，﹣2），

＝（0，﹣2，0），

设异面直线PC与AB所成角为θ， 则cosθ＝

＝

＝

．

∴异面直线PC与AB所成角的余弦值为故答案为：

．

．