(完整word版)等差等比数列知识点梳理及经典例题,推荐文档

数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师

即

an＋1＋3

＝2. an＋3

所以数列{an＋3}是以a1＋3为首项、公比为2的等比数列，即an＋3＝4·2n1＝2n1，所以an＝2n1－3.

1

7、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|的值等于________．

4

－＋＋

如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依

次为A、B、C、D.

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因为xA＝，则xD＝.

4435

又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝，xC＝. 44

17351

故|m－n|＝|×－×|＝. 44442

8、在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．

设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13， 5∴d＝. 9

∴数列{an}为递增数列．

532

令an≤0，∴－3＋(n－1)·≤0，∴n≤，

95

∵n∈N*.

∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6＝－

6.若两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn和Tn，且满足

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. 3

Sn7n?3，则a8? 6 . ?Tnn?3b8 5

数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师

7．（北京卷）（16）（本小题共13分）

已知?an?为等差数列，且a3??6，a6?0。 （Ⅰ）求?an?的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列?bn?满足b1??8，b2?a1?a2?a3，求?bn?的前n项和公式 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d。 因为a3??6,a6?0 所以??a1?2d??6 解得a1??10,d?2

?a1?5d?0所以an??10?(n?1)?2?2n?12 （Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q 因为b2?a1?a2?a3??24,b??8

所以?8q??24 即q=3

b1(1?qn)?4(1?3n) 所以{bn}的前n项和公式为Sn?1?q★等差数列的最值：

若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，

?an?0（1）若a1>0,d>0,且满足?，前n项和Sn最大；

a?0?n?1（2）若a1<0,d>0，且满足??an?0，前n项和Sn最小；

?an?1?0（3）除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n?N。 〖例〗已知数列{an}是等差数列。

（1）若am?n,an?m(m?n),求am?n; （2）若Sm?n,Sn?m(m?n),求Sm?n.

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? 数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师

解答：设首项为a1，公差为d， （1）由am?n,an?m，d?n?m??1 m?n∴am?n?am?(m?n?m)d?n?n?(?1)?0.

n(n?1)?n2?m2?mn?m?n?m?na1?da1?????2mn（2）由已知可得?,解得?.

m(m?1)?n?ma??d??2(m?n)d1???2mn??Sm?n?(m?n)a1?(m?n)(m?n?1)d??(m?n)

2【例】已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn＝3an－3.

(1)求数列{an}的通项公式；

1

(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn<1.

log3an·log3an＋1

(1)解 ①当n＝1时，由2Sn＝3an－3得，2a1＝3a1－3， ∴a1＝3.

②当n≥2时，由2Sn＝3an－3得， 2Sn－1＝3an－1－3.

两式相减得：2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，即2an＝3an－3an－1， ∴an＝3an－1，又∵a1＝3≠0，∴{an}是等比数列，∴an＝3n. 验证：当n＝1时，a1＝3也适合an＝3n. ∴{an}的通项公式为an＝3n.

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(2)证明 ∵bn＝＝＋ n

log3an·log3an＋1log33·log33n1

111＝＝－， (n＋1)nnn＋1∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

11111＝(1－)＋(－)＋…＋(－) 223nn＋11

＝1－<1.

n＋1

等差数列习题

1. 设｛an｝为等差数列，Sn为｛an｝的前n项和，S7＝7，S15＝75，已知Tn为数列｛ ｝的前n项数，求Tn． 2．已知数列?an?是等差数列，其前n项和为Sn，a3?6,S3?12． （１）求数列?an?的通项公式；（２）求

Snn111????． S1S2Sn1

12.解：设数列｛an｝的公差为d，则Sn＝na1＋ n（n－1）d．

2

7

数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师 ?7a1＋21d＝7 ?a1＝－2?∵S7＝7，S15＝75，∴， ∴? 15a＋105d＝751??d＝1

Sn11

∴ ＝a1＋ ·（n－1）d＝－2＋ ·（n－1） n22

∴

Sn+1Sn1Sn1

－ ＝ ∴数列｛ ｝是等差数列，其首项为－2，公差为 ， n＋1n2n2

n（n－1）

2

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· ＝ n－ n．

244

∴Tn＝n·(－2)＋

?a1?2d?6?14．解：（１）设数列?an?的公差为ｄ，由题意得方程组? ，解得 3?23a?d?121?2??a1?2，∴数列?an?的通项公式为an?a1?(n?1)d?2n，即an?2n． ??d?2（２）∵an?2n，∴Sn?n(a1?an)?n(n?1)． 2 ∴

111111????????? S1S2Sn1?22?3n(n?1) ?(?)?(?)???(11121213111． ?)?1?nn?1n?1B、等比数列知识点及练习题

等比数列及其前n项和 （一）等比数列的判定 判定方法有： （1）定义法：若

an?1a?q(q为非零常数)或n?q(q为非零常数且n?2)，则?an?是等比数列； anan?12?（2）中项公式法：若数列?an?中，an?0且an?1?angan?2(n?N)，则数列?an?是等比数列； n?（3）通项公式法：若数列通项公式可写成an?cq(c,q均为不为0的常数，n?N)，则数列?an?是

等比数列；

qn?k(k为常数且k?0,q?0,1)，则数列?an?（4）前n项和公式法：若数列?an?的前n项和Sn?kg是等比数列；

注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。

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