(完整word版)等差等比数列知识点梳理及经典例题,推荐文档

数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师

A、等差数列知识点及经典例题 一、数列

由an与Sn的关系求an

由Sn求an时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段

函数的形式表示为a?S1(n?1)n???Sn?Sn?1(n?2)。

〖例〗根据下列条件，确定数列?an?的通项公式。

分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解；

（3）将无理问题有理化，而后利用an与Sn的关系求解。

解答：（1）

（2）

……

累乘故

（3）

1

可得，

数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师

二、等差数列及其前n项和 （一）等差数列的判定

1、等差数列的判定通常有两种方法：

第一种是利用定义，an?an?1?d(常数)(n?2)，第二种是利用等差中项，即2an?an?1?an?1(n?2)。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。

（1）通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an=An+B,则{an}是等差数列；

2（2）前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn?An?Bn的形式（A，B是常数），则{an}是等

差数列。

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn?Sn?1?2SngSn?1?0(n?2),a1?（1）求证：{

1 21}是等差数列； Sn（2）求an的表达式。

分析：（1）Sn?Sn?1?2SngSn?1?0?11与的关系?结论； SnSn?1（2）由

1的关系式?Sn的关系式?an Sn1111111-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2

Sn?1SnSnSn?1SnS1a1解答：（1）等式两边同除以SngSn?1得为首项，以2为公差的等差数列。

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数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师

（2）由（1）知

1111=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴Sn=,当n≥2时，an=2Sn·Sn?1=。SnS12n(n?1)2n?1?1?2又∵a1?，不适合上式，故an??12???2n(n?1)(n?1)。

(n?2)【例】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pa2n＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为________．

∵a1＝1，∴2a1＝2pa21＋a1－p，

即2＝2p＋1－p，得p＝1.

于是2Sn＝2a2n＋an－1.

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当n≥2时，有2Sn－1＝2a2(ann－1＋an－1－1，两式相减，得2an＝2an－2an－1＋an－an－1，整理，得2(an＋an－1)·

1

－an－1－)＝0.

2

11n＋1

又∵an>0，∴an－an－1＝，于是{an}是等差数列，故an＝1＋(n－1)·＝.

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（二）等差数列的基本运算

1、等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d及前n项和公式Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d，共涉及五22个量a1，an，d,n, Sn,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；

2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

注：因为

SSnddd?n?a1??a1?(n?1)，故数列{n}是等差数列。

nn222n?〖例〗已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn?2p?nq(n?N,p,q为常数)，且x1，x4，x5成等差数

列。求：

（1）p,q的值；

（2）数列{xn}的前n项和Sn的公式。

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分析：（1）由x1=3与x1，x4，x5成等差数列列出方程组即可求出p,q；（2）通过xn利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

解答：（1）由x1=3得2p?q?3……………………………………①

45又x4?2p?4q,x5?2p?5q,且x1?x5?2x4，得3?2p?5q?2p?8q…………………②

55由①②联立得p?1,q?1。

n（2）由（1）得，xn?2?n

（三）等差数列的性质 1、等差数列的单调性：

等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。 ★2、等差数列的简单性质：略

典型例题

1．等差数列?an?中, 若Sn?25,S2n?100，则S3n?225；

2.（厦门）在等差数列?an?中， a2?a8?4,则 其前9项的和S9等于 （ A ） A．18 B 27 C 36 D 9

3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9= 24 4、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( C ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且的正整数n的个数是（ D ）

A．2 B．3 C．4 D．5

An7n?45a?，则使得n为整数

bnBnn?36、在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.

由an＋1＝2an＋3，则有an＋1＋3＝2(an＋3)，

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