高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第五节三角函数的图象与性质 文

第五节 三角函数的 图象与性质

1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象．

2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如值域、单调性、奇偶性、最大

ππ

－，?上的性质．了解三值和最小值以及与x轴交点等)，理解正切函数在区间??22?

角函数的周期性．

知识梳理

一、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质 函数名称 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x 函数图象 定义域 值域 x∈R [－1,1] π当x＝2kπ＋，k∈Z2时，ymax＝1； π当x＝2kπ－，k∈Z2时，ymin＝－1 x∈R [－1,1] 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1 错误！未定义书签。 R 最值 无最值 (续上表)

二、研究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的方法

类比于研究y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看成y＝sin x中的x，但在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的性质的方法与其类似，也是类比、转化．

三、求三角函数的周期的常用方法

经过恒等变形化成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式．

2π

如：函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期都是；函数y＝Atan(ωx＋

|ω|

π

φ)的最小正周期是.

|ω|

另外还有图象法和定义法．

基础自测

π?

1．(2013·揭阳二模)设函数f(x)＝cos(2π－x)＋3cos??2－x?，则函数的最小正周期为( )

πA. 2

B．π

C．2π

D．4π

解析：函数f(x)＝cos x＋3sin x＝2

?3sin x＋1cos x?＝2sin?x＋π?，

?6?2?2?

2π

故其最小正周期为＝2π，故选C.

1答案：C

ππ

2x－?在区间?0，?上的最小值为( ) 2．(2013·天津卷)函数f(x)＝sin?4???2?A．－1

B．－

2

2

C.2

2

D．0

ππππ3ππ

0，?，所以－≤2x－≤，令n＝2x－，则sin?2x－?＝sin n在解析：因为x∈?4??2??4444

π3ππ2

－，?上的最小值为sin?－?＝－.故选B. n∈??44??4?2答案：B

3．(2012·浙江名校新高考联盟二联) 若函数f(x)＝sin (x＋α)－2cos(x－α)是奇函数，则

sin αcos α＝________.

解析：因为函数f(x)＝sin(x＋α)－2cos(x－α)是奇函数，所以f(0)＝sin α－2cos α＝0，

21

即tan α＝2.所以sin αcosα＞0，不妨设α为锐角，可得sin α＝，cos α＝.所以sin αcos

55

2α＝.

5

2

答案：

5

π4π?4π，2π?ωx－?(ω>0)在?0，?上单调递增，4．(2012·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin?在6?3????3?上单调递减，则ω＝___________.

1．(2013·山东卷)函数y＝x cos x＋sin x的图象大致为( )

π

解析：函数y＝xcos x＋sin x为奇函数，排除B.取x＝，排除C；取x＝π，排除A，

2

故选D.

答案：D

π

x＋?－1. 2．已知函数f(x)＝4cos xsin??6?(1)求f(x)的最小正周期；

ππ

－，?上的最大值和最小值． (2)求f(x)在区间??64?ππ

sin xcos＋cos xsin?－1 解析：(1)∵f(x)＝4cos x?66??＝23sin xcos x＋2cos2x－1 ＝3sin 2x＋cos 2x π

2x＋?， ＝2sin?6??

∴函数f(x)的最小正周期为π.

ππππ2ππππ

(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.∴当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值

64663626ππ

2；当2x＋＝－，

66

π

即x＝－时，函数f(x)取得最小值－1.

6

π

x－? 的最小正周期为________，最大值是1. (2013·佛山一模)函数y＝sin x＋sin??3?________．