概率练习册答案

第 29 页 东华理工大学2010—2011学年第2学期期末（BⅡ）试题 - 29 - __________; （1）p(a?X?b,Y?c)?____________________; （2）p(X?a,Y?b)?____________________; （3）p(0?Y?a)?____________________. （4）p(X?a,Y?b)?__________2．随机变量(X,Y)的分布率如下表，则?,?应满足的条件是 .

X Y 1 2 3．设平面区域D由曲线y?

1 1/6 1/2 2 1/9 ? 3 1/18 ? 1

及直线y?0,x?1,x?e2所围成，二维随机变量(X,Y)在区域x

D上服从均匀分布，则(X,Y)的联合分布密度函数为 .

224．设(X,Y)~N(?1,?2,?1则X,Y相互独立当且仅当?? . ,?2,?)，

5.设两个随机变量X与Y独立同分布，且P（X=-1）=P（Y=-1）=1/2，P（X=1）=P（Y=1）=1/2，则P（X=Y）= ；P（X+Y=0）= ；P（XY=1）= .

答：1.F（b,c）-F(a,c);F(a,b);F(+?,a)-F(+?,0);F(+?,b)-F(a,b).

2.????1/6. 3.解：SD??4.0．

5.解：P（X=Y）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;

P（X+Y=0）= P（X=-1, Y=1）+ P（X=1, Y=-1）= P（X=-1）（Y=1）+ P（X=1）P（Y=-1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;

e21?1/2,(x,y)?D1e2dx?[ln|x|]1?2，故f(x,y)??. x0,(x,y)?D?

第 30 页 东华理工大学2010—2011学年第2学期期末（BⅡ）试题 - 30 - P（XY=1）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.

??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4三、设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)??

?0,其它?（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5}

（2）求P {X<1, Y<3} （4）求P (X+Y≤4}

分析：利用P {(X, Y)∈G}=

??f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy再化为累次积分，其中

GG?Do?0?x?2,???Do??(x,y)?

2?y?4????解：（1）∵1???????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?3 81 8（2）P(X?1,Y?3)???01dx3128(6?x?y)dy?（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（4）P(X?Y?4)??1.50dx?127(6?x?y)dy? 28324?20dx?4?x012(6?x?y)dy? 8322??cxy,x?y?1四、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)??

?0,其它?（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。 解: l=

??????????f(x,y)dxdy??dy?01?y?ycxydx?c2?1022421ydy?c?c? 32145212?1212??2xydy?x(1?x4),?1?x?1 X~fX(x)??x4 8?0,其它?5??y21272??dydx?yY~fY(y)???y42?0?0?y?1 其它

第 31 页 东华理工大学2010—2011学年第2学期期末（BⅡ）试题 - 31 -

四、设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为

??4.8y(2?x)f(x,y)????0解：fX(x)?0?x?1,0?y?x其它求边缘概率密度.

??????x4.8y(2?x)dy?2.4x2(2?x)?f(x,y)dy??0??0?0?x?1其它

fY(y)??????1???4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y2)0?y?1 f(x,y)dx??y?其它?0五、设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的概率密

?1y?e2,y?0度为fY(y)??2

?0,y?0.?（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。

??1,x?(0,1)解：（1）X的概率密度为fX(x)??

??0,其它Y的概率密度为

?1?y?e2,y?0fY(y)??2且知X, Y相互独立，

?0,y?0.?于是（X，Y）的联合密度为

y?1?2?f(x,y)?fX(x)fY(y)??2e??00?x?1,y?0

其它2（2）由于a有实跟根，从而判别式??4X?4Y?0

22 即：Y?X 记D?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}

P(Y?X)?2??Df(x,y)dxdy??dx?01x201edy???dx?de002?1x2y2?y2?1??e01?x22dx

第 32 页 东华理工大学2010—2011学年第2学期期末（BⅡ）试题 - 32 - ?1?2??e?2?010?x22dx?1?2?(?(1)??(2))?1?2?(0.8413?0.5)

?1?2.5066312?0.3413?1?0.8555?0.1445六、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。

解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：

fT(t)?1e2π?20?(t?160)22?202

f{X?180}?FX(180)?令t?160?u200.8413u221180(t?160)2dt???2?202202?1180?60du??()20

12??1??e?查表设N=min{X1，X2，X3，X 4}

P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180}

=P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4=0.00063

第四章 随机变量的数字特征

一、选择题

1．X为随机变量，E(X)??1,D(X)?3，则E[3(X)?20]=（ ）. A. 18 B.9 C.30 D. 32 2. 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

2?e?(x?y),0?x???,0?y???f(x,y)??，则E(XY)?( ).

0,其它?A. 0 B.1/2 C.2 D. 1

3. (X,Y)是二维随机向量,与Cov(X,Y)?0不等价的是( ).

A. E(XY)?EX?EY B. D(X?Y)?DX?DY C. D(X?Y)?DX?DY D. X与Y独立