概率练习册答案

第 25 页 东华理工大学2010—2011学年第2学期期末（BⅡ）试题 - 25 - 1?P{X1?1}?P{X1?1,X2??1}?P{X1?1,X2?0}?P{X1?1,X2?1}4

1?P{X1?1,X2?0}?41?P{X2?0}?P{X1??1,X2?0}?P{X1?0,X2?0}?P{X1?1,X2?0}2

1?P{X1?0,X2?0}??P{X1??1,X2?0}?P{X1?1,X2?0}?02故P{X1?X2}?P{X1??1,X2??1}?P{X1?1,X2?1}?P{X1?0,X2?0}?0. 3.答案：（D）

解：联合分布可以唯一确定边缘分布 ，但边缘分布不能唯一确定联合分布，但如果已知随机变量X与Y是相互独立的，则由X与Y的边缘分布可以唯一确定X与Y的联合分布. 4.答案：（A）

解：由问题的实际意义可知，随机事件{X?i}与{Y?j}相互独立，故

P{X?i,Y?j}?P{X?i}P{Y?j}?6111?,i,j?1,2,?6； 11C6C6366{X?Y}??{X?k,Y?k}?P{X?Y}??P{X?k,Y?k}?k?1k?111?6?； 366P{X?Y}?1?P{X?Y}?1?15?； 66{X?Y}?{X?Y}?{X?Y}，

而事件{X?Y}又可以分解为15个两两不相容的事件之和，即

{X?Y}?{X?k,Y?k?1}?{X?k,Y?k?2}???{X?k,Y?6},k?1,2,3,4,5

第 26 页 东华理工大学2010—2011学年第2学期期末（BⅡ）试题 - 26 - 故P{X?Y}?5.答案：（B）

151517?P{X?Y}?P{X?Y}?P{X?Y}???. 36366122解：当(X,Y)?N(?1,?2,?12,?22,?)时，X~N(?1,?12)，Y~N(?2,?2)，且X

和Y相互独立的充要条件是??0；单由关于S和关于T的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量S和T的联合分布的. 6.答案：（C）

解：（方法1）首先证明一个结论，若T~N(?,?2)，则S?T?N~(?,?)?2.证明过程如下（这里采用分布函数法来求S??T的概率密度函数，也可以直接套用教材64页的定理结论（5.2）式）：由于

FS(s)?P{S?s}?P{?T?s}?P{T??s}?1?P{T??s}?1?P{T??s}?1?FT(?s),故fS(s)??fT(?s)?(?1)?fT(?s)??1e2??(?s??)22?2??1e2??(s?(??))22?2,这表明?T也服从正态分布，且S??T~N(??,?2).

2所以这里?Y~N(??2,?2).再利用结论：若X1与X2相互独立，且2Xi~N(?i,?i2),i?1,2，则X1?X2~N(?1??2,?12??2).便可得出

22X?Y~N(?1??2,?12??2)；X?Y~N(?1??2,?12??2)； 2X?2Y?(X?Y)?Y~N(?1?2?2,?12?4?2); 22X?Y?X?(X?Y)~N(2?1??2,4?12??2).

（方法2）我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若Xi~N(?i,?i2),i?1,2,?,n，则

第 27 页 东华理工大学2010—2011学年第2学期期末（BⅡ）试题 - 27 - Y??kiXi~N(?ki?i,?ki2?i2)

i?1i?1i?1nnn22故X?Y~N(?1??2,?12??2)；X?Y~N(?1??2,?12??2)；

22X?2Y~N(?1?2?2,?12?4?2);2X?Y~N(2?1??2,4?12??2).

7.答案：（A）

解：由于X~N(?3,1)，Y~N(2,1)，所以Z1?Z2?X?3?(X?3)~N(0,1)，1Y?2?(Y?2)?N(0,1)，故Z3??2Z2??2(Y?2)?N(0,(?2)2?1)?N(0,4)，1而Z?Z1?Z3，所以Z~N(0,5). 8.答案：（D）

解：由联合概率密度函数的规范性知

???4?4?41???????f(x,y)dxdy?C?dx?sin(x?y)dy?C?[cosx?cos(x?)]dx4. 000?4?C[sinx?sin(x?)]??2?1?C?2?104?9.答案：（A） 解：P{X?Y?1}?122x?y?1??f(x,y)dxdy

1154165??dx?(x?xy)dy??(x3?x2?x)dx?.

36327201?x010.答案：（Ｂ）

解：由联合概率密度函数的规范性知

???????(2x?3y)1?

??????f(x,y)dxdy?A?dx?e00AAdy??e?2xd(?2x)?e?3yd(?3y)??A?6.6060???? 第 28 页 东华理工大学2010—2011学年第2学期期末（BⅡ）试题 - 28 -

12.答案：（C）

解：用D表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域，用G表示矩形域[0?x?2,0?y?1]，则所求的概率为

P{(X,Y)?D}???D3232xx4f(x,y)dxdy???xydxdy??dx?xydy??(?)dx?0.622216D?G0x20212.

13.答案：（B）

解：利用结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若

Y??kiXi~N(?ki?i,?ki2?i2).

i?1i?1i?1nnnXi~N(?i,?i2),i?1,2,?,n，则

n11n122?2因此(X1?X2???Xn)~N(??,?()?)?N(?,)；

nni?1ni?1nX1?X2~N(???,?2??2)?N(0,2?2).

令Z?2X1?3，由教材64页定理结论中的（5.2）式可知，Z的概率密度函数为fZ(z)?2X1?3N~?(?2

二、填空题

1．(X,Y)是二维连续型随机变量，用(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表示下列概率：

1e2??z?3??)22?2?2(11.?e22?(2?)?[z?(2??3)]22(2?)2，故

. ?23,4)