概率练习册答案

第 41 页 东华理工大学2010—2011学年第2学期期末（BⅡ）试题 - 41 - 5.解：由题设

p(2?X?4)?p(2?3??X?3??4?3?)?p(?1??X?3??1?11)??()??(?)??11?2?()?1?0.3??()?0.65??.

???p(X?2)?p(X?3??2?3?11)??(?)?1??()?0.356.解：E(X)=0+1/6+1/3+1/4+1=7/4；

E(X2)=0+1/6+4/6+9/12+16/4=67/12；

D(X)=E(X2)-[E(X)]2=67/12-49/16=121/48； E(?2X?1)=-2E(X)+E（1）=-7/2+1=-5/2.

7.解：

DX?4,DY?9,?XY?0.5,D(2X?3Y)?D(2X)?D(3Y)?2Cov(2X,3Y)?4D(X)?9D(Y)?12Cov(X,Y). ?4D(X)?9D(Y)?12?XYDXDY?16?81?36?618.解：由于X服从n=10，p=0.4的二项分布，根据二项分布的性质，EX=np=4，DX=np（1-p）=2.4，故E（X2）= DX+（EX）2=18.4.

三、设随机变量X的分布为

求 E (X)， E (3X2+5) 解：

E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2 E (X2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8 E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.4

X Pk

－2 0.4

0 0.3

2 0.3

四、设随机变量X的概率密度为

第 42 页 东华理工大学2010—2011学年第2学期期末（BⅡ）试题 - 42 - ?e?x,x?0 f(x)???0,x?0求（1）Y=2X

解：（1）E(y)?（2）Y=e

??－2x

的数学期望。

?????2xf(x)dx??02xe?xdx

??2xe?x?2e?x?????0??2

???0 （2）E(Y)????e?2xf(x)dx?e?2xe?xex

??1?3x?1e? 303五、设随机变量X1，X2的概率密度分别为

?2e?2x,f1(x)???0x?0x?0?4e?4x,x?0 f2(x)??,x?0?02

求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3X2)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2)

解：（1）E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)???0x?2e?2xdx???0x?4e?4xdx

1?2x???1?4x??113?2x?4x?xe?e??xe?e???? =???24??0???0244

2（2）E(2X1?3X2)2?2E(X1)?3E(X2)1?2??32??0x2?4e?4xdx

x?4x1?4x??352?4x?xe?e?e?1?? =1?3???2888??0 （3）E(X1X2)?E(X1)?E(X2)?六、设随机变量X和Y的联合分布为：

X Y －1

111?? 248－1 0 1 1 81 81 8 第 43 页 东华理工大学2010—2011学年第2学期期末（BⅡ）试题 - 43 - 0 1 1 81 80 1 81 81 8 验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。

133 P [X=1]= P [Y=1]= 888 P [X=1 Y=1]≠P [X=1] P [Y=1]

证：∵

P [X=1 Y=1]=

∴ X，Y不是独立的 又

E (X )=－1×323+0×+1×=0 888323+0×+1×=0 888 COV(X, Y )=E{[X－E (X )][Y－E (Y )]}= E (XY )－EX·EY

E (Y )=－1×1111+(－1)1×+1×(－1)×+1×1×=0 8888∴ X，Y是不相关的

七、设随机变量（X1，X2）具有概率密度。

= (－1)(－1)

f(x,y)?求 解：

1(x?y)， 0≤x≤2, 80≤y≤2

E (X1)，E (X2)，COV（X1，X2），ρX1X2D(X1?X2)

E(X2)?E(X2)???2020dx??2020x?y?17(x?y)dy? 8617(x?y)dy? 8677)(X2?)} 66dxCOV(X1X2)?E{(X1? ??2027711dx?(x?)(y?)?(x?y)dy??

066836D(X1)?E(X12)?[E(X1)]?2?20dx?2017?11x?(x?y)dy?? ???836?6?2222D(X2)?2E(X2)?[E(X2)]?2?2017?11dxy?(x?y)dy??? ??0836?6??2

第 44 页 东华理工大学2010—2011学年第2学期期末（BⅡ）试题 - 44 - ?XY1COV(X1,X2)1??36??

1111DX1DX236?D (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2) =

111115??2?(?)? 3636369第五章 大数定理及中心极限定理

一、选择题

1. 设X为随机变量,EX??,DX??2,则P{|X??|?3?}满足( ).

A. ?1111 B. ? C. ? D. ? 93932. 设随机变量X1,X2,?,X10相互独立,且EXi?1,DXi?2(i?1,2,?,10)，则（ ）

A. P{?Xi?11010i?1??}?1???2 B. P{?Xi?110ii?110i?1??}?1???2

C. P{?Xi?1i?10??}?1?20??2 D. P{?X?10??}?1?20??2

3. 设对目标独立地发射400发炮弹,已知每发炮弹的命中率为0.2由中心极限定理,则命

中60发～100发的概率可近似为( ).

A. ?(2.5) B. 2?(1.5)?1 C. 2?(2.5)?1 D. 1??(2.5)

24. 设 X1,X2,?,Xn独立同分布,EXi??,DXi??,i?1,2,?,n,当n?30时,下列

结论中错误的是( ).

A.

?Xi?1nni近似服从N(n?,n?)分布

2?X

B. i?1i?n?近似服从N(0,1)分布

n?