（江苏版）2018年高考数学一轮复习（讲+练+测）： 专题4.6 正余弦定理（讲）

专题4.6 正余弦定理

【考纲解读】

要 求 内 容 A B C 解三角形 正弦定理、余弦定理及 其应用 √ 度量问题． 【直击考点】

题组一 常识题

1．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝2，则最短边的边长等于________．

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形备注

2． 在△ABC中，已知a＝5，b＝23，C＝30°，则c＝________．

【解析】由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C＝5＋(23)－2×5×23cos 30°＝7， 所以c＝7.

3．在△ABC中，a－c＋b＝2ab，则C＝__________.

2

2

22

2

2

2

2

a2＋b2－c22

【解析】因为cos C＝＝，所以C＝45°.

2ab2

题组二 常错题

4．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系是________．

【解析】由正弦定理，有sin A＝，sin B＝，所以若sin A>sin B，则>，即a>b，故A>B.

2R2R2R2R5．在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝______________________.

abab【解析】由正弦定理，有为锐角，故B＝45°.

asin Asin B＝b，则sin B＝

bsin A＝a42×43

32

＝2

.又a>b，所以A>B，所以B2

6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a－b＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝__________

22

b2＋c2－a2－3bc＋c2【解析】∵sin C＝23sin B，由正弦定理得c＝23b，∴cos A＝＝＝2bc2bc 1

－3bc＋23bc3

＝.又A为三角形的内角，∴A＝30°.

2bc2题组三 常考题

π1

7．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝________．

44

8． 已知钝角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a为最大边，23·cosA＋cos 2A＝0，a＝6，c＝5，则b＝__________．

【解析】由23cosA＋cos 2A＝0得25cosA－1＝0，又△ABC是钝角三角形，且a为最大边，所以cos A1?1?222222

＝－.由a＝b＋c－2bccos A，即6＝b＋5－2b×5×?－?，解得b＝23－1(负值舍去)．

5?5?

【知识清单】

考点1 正弦定理 正弦定理：

＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：

sin Asin Bsin C2

2

2

abca∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

sin A＝，s in B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．

2R2R2R111

面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B 222考点2 余弦定理

余弦定理：a?b?c?2abcosC ， b?c?a?2accosA ， c?a?b?2accosB.

222222222abcb2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2

变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝

2bc2ac2ab考点3 正弦定理与余弦定理的综合运用

2

【考点深度剖析】

综合近年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点，经常稳定在解答题中出现，中等难度，故这部分知识应引起充分的重视．

【重点难点突破】

考点1 正弦定理

【1-1】在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b＝2，

B＝30°，C＝15°，则a等于 .

【答案】22

【1-2】在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a?1，

b?3，则S?ABC? .

3

【答案】

3 2

【思想方法】

已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．

已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．

已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则

A为锐角 A为钝角或直角 图形 bsin A＜aa＝bsin A ＜b 一解 两解 ? a≥b 一解 ? a＞b 一解 关系式 解的个数 a＜bsin A 无解 a≤b 无解 【温馨提醒】用正弦定理求出某一个角的正弦值后，在0到180之间对应的角有两个，特别注意验证这两个是否满足条件. 考点2 余弦定理

【2-1】已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是 . 【答案】120°

【解析】∵在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，∴a∶b∶c＝1∶1∶3， 设a＝b＝k，c＝3k(k>0)，最大边为c，其所对的角C为最大角，

k2＋k2－?3k?21

则cos C＝＝－，∴C＝120°.

2×k×k2

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