一元函数微积分学在物理学上的应用(1)

水压力

从物理学知道，在水深为h处的压强为P??gh，?是水密度，g是重力加速度，如果有一面积为A的平板水平地放放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为P?p?A，(压强?面积)，如果平板铅直放置在水中，那么，由于水深 不同的点处压强为p不相等，平板一侧所受的水压力就不能用上述方法计算，此时一般用微元法

例3(1)（水压力1）、一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的密度为?，计算桶内的一个端面上所受的压力.解：取坐标系如图桶的一个端面为圆片，所以现在要计算的是当水平面通过圆心时，铅直放置的一个半圆片的一侧所受的水压力，考察[x,x?dx]上所受的压力dP,dP?压强?面积??gx?2R?xdxR22?P??2?gxR?xdx?0222?g3R3例3(2)（水压力2）.灌溉涵洞的断面为抛物线拱形，在水面高出涵洞顶点为1m时，求涵洞闸门（底面宽为2m，高为1m）所受的水压力（水的比重??1t/m）解：建立坐标系如图该抛物线的方程为x?1?ky，由条件，闸门高为1m，宽为2m，?k?1考察在[x,x?dx]上的压力，dP?压强?面积?2?xydx?2x223?x?1?y2x?1dx?P?2?x1x?1dx?3215(t)3这里压强??x?比重?水深?1吨/m?水深x，最后压力单位吨与前例有区别比重?密度?g例3(3)（水压力3）.有一形状为等腰梯形的闸门，二水平面的长分别为20米和12米高为10米，若较长边位于水的自由表面，计算水对闸门的压力解：建立坐标系如图x?10y?62AB所在的直线方程：?,即y?10?x0?1010?65在[x,x?dx]上，压强?水的比重?水深?1?x压力dP?xdS?x?ydx?2x(10?1025x)dx?P??02x(10?25x)dx?73313吨

例3(4)（水压力4）.半径为R?0.4m的圆形薄板，与液面成夹角为??上缘距水平为H?1m，求薄板一侧所受的压力.?6斜沉于水中,解：取圆心为原点,平行液面的半径为x轴,建立相应的y轴,?[y,y?dy]?[?R,R]对应水平小条的压力为dF?pdA??gh?2xdy??g[H?(R?y)sin?]?2R?ydyR22?F???R2?g[H?(R?y)sin?]?2R?ydy???g(H?Rsin?)R222以R?0.4m，H?1m，???6，??1000kg/m,g?9.8代入得F?5911.22(N)3例3(5)（水压力5）、（02.II.7%）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成。当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4，闸门矩形部分的高h应为多少米？解法一：建立坐标系如图，?为水的密度，则抛物线方程为y?x...........1'h?12闸门矩形部分承受的水压力P1?21?1?g(h?1?y)dy??gh...........................3'12ydy?4?g(h?)3152

闸门下部水承受的水压力为P2?2??g(h?1?y)?0P1P2?54,解得：h2124(h?)315?51，h1?2，h2??（舍去）43故h?2

引力

由物理学知道，质点分别为m1，m2，相距为?的两质点间的引力的大小为

F?Gm1m2?2，其中G为引力常数，引力的方向沿着两质点的连线方向

如需计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的， 且各点对该点的引力的方向也是变化的，因此就不能用上述公式来计算

例4(1)(引力1）、设有一长度为l，线密度为?的均匀的细直棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M，试计算该棒对质点的引力解：建立坐标系如图考察[y,y?dy]上引力微元，[y,y?dy]上的质量为?dy，?F?G?F在水平方向分力?Fx的近似值，dFx??Garaa?y14a?l2222m?dya?y22am?dy3(a?y)2（?dFx??F?cos??F?l222?F?)?Fx????Gam?dy3dy??2Gm?lal2(a?y)222由对称性知，引力在铅直方向的分力为Fy?0*当细直棒的长度l很大时，可视l趋于无穷，此时，引力的大小为方向与细棒垂直且由M指向细棒2Gm?a（,l???)例4(2)（引力2）.设有顶角为90，高为1的正圆锥体，密度为1，求正圆锥体与位于圆锥体顶点质量为1的质点之间的引力.解：建立坐标系如图,正圆锥方程为x?y?z(0?z?1)根据对称性可知，所求引力在x轴，y轴上的分力Fx?Fy?0取包含点(x,y,z)的体积微元dV，则此微元与原点处质量为1的质点间的引力为kdV222??2，并且它在z轴的方向的分力dFZ?kz2?311z?3dV,其中??1x?y?zr1222?Fz?k?????dV?k?0d??rdr?0rzdz3(r?z)222?2?k?[012?]dr?2?k(1?22)(1?r)22其中?表示所讨论的锥体

例4(3)（引力3）在x轴上有一线密度为常数?，长度为l的细杆，在x轴上还有一质量为m的指点道干右端的距离为a,一直引力常数为k，则质点和细杆之间引力的大小为km?la(a?l)解：用微元法，在细杆上x处去长为dx的一小段，其质量为dM??dx,则质点与这一小段细杆之间的引力大小为dF?k?mdM(a?x)2

?km?(a?x)2dx,x???l,0?求积分，即得质点和细杆之间引力的大小为F=?dF??l0?0?lkm?(a?x)2dx?km?la(a?l)质心

设光滑曲线L:y?f(x),a?x?b,具有均匀线密度?（kg/m)该曲线的质量中心为(x,y),则有x?MMy???x1?f?(x)dxab2??xbabab,y?MMx?2??y1?f?(x)dxab1?f?(x)dx2??baba21?f?(x)dx其中M2???f(x)1?f?(x)dx,May2???x1?f?(x)dx表示L对x轴与y轴的静力矩,M???21?f?(x)dx??l为该曲线的质量，l为弧长。ba2x1?f?(x)dx?Sy同时可得到 2?xl?2?2?yl?2???ba2f(x)1?f?(x)dx?Sx其中Sx,Sy分别表示曲线L绕x轴与绕y轴旋转而成的旋转体侧面积，这一结论称为古尔金第一定理。均匀密度条件下的质量中心坐标实质上与密度无关，所以又称为几何中心或形心。形心的计算公式：x??ba2y1?f?(x)dxl,y??ba2x1?f?(x)dxl,l是弧长。实际应用中可依据曲线方程的形式，取弧长的相应计算公式直角坐标方程、参数方程或极坐标方程。若曲线为x轴上直线段a?x?b,密度函数为?=?(x), 则y?0,x??bax?(x)dxb?a?(x)dx例1.（质心1）求平面圆弧y=a?x的形心解：显然x?0,l??a22y??a?aa?x221?x222a?xdx?

2a2?a?a?2a?2本题若用古尔金第一定理得到2?y??a?4?a,例2(质心2)设长度为h的细杆AB上任一点处的密度与该点到细杆A端的距离的平方成正比,比例系数为k>0,求该细杆的质心坐标.解: 沿细杆AB的方向并以细杆A端为坐标建立坐标系Ox,如图,于是细杆AB上各点的坐标满足0?x?h,且A端对于x?0,B端对应于x?h,细杆AB上点x处的密度为?(x)?kx,把细杆AB上从点x到点x?dx的一小段看成一个质点,则该质点的质量为?(x)dx?kxdx,故细杆AB的质心坐标x?22

?h0x?(x)dxh???h0hkxdx?kxdx233h43h4,距离B端h4处?0?(x)dx0即细杆AB的质心坐标在杆上距离A端对均匀密度薄板的质量中心有如下公式设y?f(x)为?a,b?上的连续非负函数，考虑形如区域D??(x,y)a?x?b,0?y?f(x)?,其面密度为?（kg/m)2质量中心x???xf(x)dxab??f(x)dxab,y???ba12baf(x)dx2??f(x)dx,其中??f(x)dx?M为该均匀薄板的质量.ab

由此还可以推得古尔金第二定理：2?xA?Vy,2?yA?Vx其中Vx，Vy分别表示区域D绕x轴与绕y轴旋转一周生成旋转体的体积.例（3质心3）一面密度为?的均匀薄板由0?y?4?x围成，求此薄板的质量中心。解：由对称性，质心x的坐标为0，只需求y2?y???2?2122?2(4?x)dx(4?x)dx222256?15323??8??8,质心（0，）55