一元函数微积分学在物理学上的应用(1)

一元函数微积分学在物理学上的应用 速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心

用导数描述某些物理量1.速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔?0，t?内转过的角度???(t),则物体在时刻t的角速度?(t)???(t).3.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t),则物体在时刻t 的冷却速度为T?(t).3.一根杆从一端0点算起，?0，x?段干的质量为m?m(x),则杆在点x处的线密度是?(x)=m?(x).4.一根导线在?0,t?这段时间内通过导线横截面的电量为Q?Q(t),则导线在时刻t的电流强度I(t)=Q?(t).5.某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度T时所需的热量为q(T),则物体在温度T时的比热C(T)=q?(T).6. 某力在?0,t?时间内作的功w?w(t),则t时刻的功率为w?(t).例1 .

设有长为12cm的非均匀杆AB,AM部分的质量与动点M到端点A的距离x的平方成正比，杆的全部质量为360g,则杆的质量的表达式m(x)? M处的线密度?(x)=252x2,杆在任一点5x 52,所以m(x)?52x,?(x)=m?(x)?5xb2

解：m(x)=kx,令x?12,m?360得k?变力作功：变力F(x)沿直线运动从a到b所作的功w??aF(x)dx

例2(1)（功1）.一圆柱形的注水桶高为5m，底圆半径为3m，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作x轴如图所示取深度x为积分变量，它的变化区间为[0，5]相应于[0，5]上任一小区间[x,x?dx]的一薄层水的高度为dx，因此如x的单位为m，2这薄层水的重力为9.8??3?dxdw?88?2?dx?x5kN,把这层水吸出桶外需作的功近似为?所求的功为w??88?2?xdx?88?2??0252?3462(kJ)例2(2)（功2）.设有一半径为R，长度为l的圆柱体平放在深度为2R的水池中，（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为?（??1））现,将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至x?2R处，计算位于[x,x?1]上的体积微元移至[2R?x,2R?x?dx]时所作的微元功。由于在水面上方与下方所受力不同，所以应分开计算，注意到介于x与x?dx之间的体积微元为2R?xdx?l?2l22R?xdx22(长?宽?高)它在水面下方需移动R?x，上方需移动R?xRRw?2l(??1)??R(R?x)R?xdx?2l?R22??R(R?x)R?xdx22?4lR(2??1)?0R?xdx??lR(2??1)223例2(3)（功3）、设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要作多少功？解法一：分[析：把球的质量量为4?34?3集中到球心，球从水中取出作功问题可以看成质的质点向上移动距离为1时变力所作的功，问题归结为求出变力，即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力，因球的比重为1?球受的重力?球的体积，球受的浮力?沉在水中部分的体积它的合力?球露出水面部分的体积。当球心向上移动距离h时，(0?h?1)，球露出水面部分的体积为23h????(1?z)dz?0223???(h?h231)2h2因此，球从水中取出要作的功为w??[3?0??(h?3)]dh?23???(12?112)?13?126解法二、[分析：微元法]心，方向向上，原点为球心，任取下半球取中2取x轴垂直水平面并通过球的微元薄片即[?1,0]上的小区间[x,x?dx]相应的球体中的薄片，在水中浮力与重力相等，当球从水中取出时，2其重量为?(1?x)dx,(1?x)处需此薄片移至离水面高为为作功dw?F?S?(1?x)?(1?x)dx,于是，对下半球作的功0w1???(1?x)(1?x?122)dx片即[0,1]上小区间[x,x?dx]相应的球体中的薄片，2任取上半球中的微元薄其重量为?(1?x)dx,当球从水中取出时，它1移动的距离为1，需作功dw?1??(1?x)dx2于是对上半球作的功为w2???(1?x)dx00122?对整个球做的功为w?w1?w2???(1?x)(1?x)dx??1??(1?x)dx?031312?例2(4)（功4）.要将一半径为0.2m，密度为500kg/m浮于水面的木球提高水面，问需要作功多少？[分析：根据浮力定律知道球的上半部浮于水面下半部没于水中，（由浮力定律?比重?12水的比重），所以只要提高0.2m即可将此球提离水面，由于在整个过程中浮力与提力都在作功，所以应有提力所作的功?克服重力所作的功?浮力所作的功]解：建立坐标如图，取[y,y?dy]?[?R,0]则对应于此小区间，浮力作功的功元素为dw浮?ydF?yg(dm)?yg(?dV)?yg?[?(R?y)dy]022?W浮???g??Ry(R?y)dy?2214??gR?12.315(kJ)443从而有W提?W重?W浮?500[?(0.2)]9.8?0.2?12.315?20.525(kJ)3与前例类似：W提?W上重?W下重?W浮?W重?W浮例2(5)（功5）.在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积S）从点a处推移到点b处，计算在移动过程中，气体压力所作的功？解：取坐标系为图，活塞的位置可以用坐标x来表示，由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强P与体积V的乘积是常数k，即PV?k，或P??V?xS，?P?kxSkxS?S?kxkV?作用在活塞上的力：F?p?S?在气体膨胀过程中，体积V是变的，因而x也是变的，所以作用在活塞上的力也是变的取x为积分变量，它的变化区间为[a,b]，设[x,x?dx]为[a,b]上的任一小区间，当活塞从x移动到x?dx时，变力F所作的功近似于bkxdx,即dw?kxdx?w??xakdx?klnba3例2(6)（功6）.一球形贮液灌，半径为10m，盛有比重为8kN/m的某种液体，液面距离灌顶部出口4m，（如图所示）已将灌中全部液体从顶部出口抽出，需作多少功？解：作x轴通过球心且正向铅直向下，原点在灌顶部出口处，长度单位取为m，取x为积分变量，x?[4.20]考察[x,x?dx]上液体，高度为dx,底圆半径为10?(x?10)?dw?8?x(20x?x)dx?8?(20x?x)dx202022232220x?x2(比重?体积?路程）?w??4dw??8?(20x?x)dx?4233112963??325990(kJ)*本题也可选择x轴的原点在球心，这时变量x的范围和功元素的表达式都要随之改变