2020届高考数学(理)一轮复习讲义 高考专题突破4 高考中的立体几何问题

则MN∥BE，

由(1)知，∠DAC＝∠BAC＝30°， 即∠DAB＝60°， ∴△ABD为正三角形， ∴DN⊥AB，

又BC⊥AB，DN，CB?平面ABCD， ∴DN∥CB，

又MN∩DN＝N，BE∩BC＝B，MN，DN?平面DMN，BE，BC?平面EBC， ∴平面DMN∥平面EBC， ∴点P在线段MN上.

以O为坐标原点，OA，OB，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 333

，0，0?，B?0，，0?，E?0，0，?， 则A??2??22???33333

M?，0，?，D?0，－，0?，N?，，0?，

4?2?4???44?3333→→

∴AB＝?－，，0?，AE＝?－，0，?，

2??22??233333→→

DM＝?，，?，MN＝?0，，－?，

4?44??42?设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， →?n＝0，?AB·?－3x＋y＝0，

则?即?

→?－3x＋z＝0，?n＝0，?AE·

令x＝1，则n＝(1，3，3)，

→→

设MP＝λMN(0≤λ≤1)，

33333→→→

可得DP＝DM＋MP＝?，＋λ，－λ?，

44??424设直线DP与平面ABE所成的角为θ，

→

|n·DP|12→

则sin θ＝|cos〈n，DP〉|＝＝， 2＋λ＋4→42×λ|n|·|DP|∵0≤λ≤1，∴当λ＝0时，sin θ取得最大值

42

. 7

42. 7

故直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值为