2020版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2节二项式定理教学案含解析理2019062732

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[规律方法] 1.“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如ax＋bn，ax＋bx＋c2ma，b，c∈R的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2.若fx＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，则fx展开式中各项系数之和为f1，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝2nn?21?n2

(1)若?x－?的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)＝a0＋a1x＋a2x＋…

?

x?

＋anx，则a1＋a2＋…＋an的值为________．

nnn1?1???a??(2)已知?2x－?的展开式中的二项式系数和为32，?x＋??2x－?的展开式中的各项系

?x??x??x?

数的和为2，则该展开式中的常数项为________．

k?21?n?1?k2n－k(1)255 (2)40 [(1)?x－?展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cn(x)·?－?

?

x?

?x?

＝Cn(－1)xkk2n－3k，

当k＝5时，2n－3k＝1，∴n＝8. 对(1－3x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a8x， 令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝2＝256. 又当x＝0时，a0＝1， ∴a1＋a2＋…＋a8＝255.

8

8

2

8

n1???a?n(2)?2x－?的展开式中的二项式系数和为32，所以2＝32，所以n＝5.令x＝1，得?x＋?

?x??x?

n5

?2x－1?的展开式中的各项系数的和为(1＋a)(2－1)5＝2，所以a＝1，所以?x＋1??2x－1?的??x??x?x???????

展开式中的常数项为C5·(－1)·2

3

3

5－3

＋C5·(－1)·2

225－2

＝40.]

?1?62

1．(2017·全国卷Ⅰ)?1＋2?(1＋x)展开式中x的系数为( )

x?

?

A．15 B．20

C．30

D．35

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1?1?6rr62224

C [因为(1＋x)的通项为C6x，所以?1＋2?(1＋x)展开式中含x的项为1·C6x和2·C6

?x?

xx4.

6×5242

因为C6＋C6＝2C6＝2×＝30，

2×1

?1?62

所以?1＋2?(1＋x)展开式中x的系数为30.

x?

?

故选C.]

2．(2015·全国卷Ⅰ)(x＋x＋y)的展开式中，xy项的系数为( ) A．10 B．20

C．30 D．60

2

5

52

C [法一：利用二项展开式的通项公式求解． (x＋x＋y)＝[(x＋x)＋y]， 含y的项为T3＝C5(x＋x)·y.

其中(x＋x)中含x的项为C3x·x＝C3x. 所以xy项的系数为C5C3＝30.故选C. 法二：利用组合知识求解．

(x＋x＋y)为5个x＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x，一个取x即可，所以xy的系数为C5C3C1＝30.故选C.]

2212

5

2

2

52

52

21

2

3

5

14

15

2

2

2

3

2

2

5

2

5