2020版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2节二项式定理教学案含解析理2019062732

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第二节 二项式定理

[考纲传真] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

1．二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)＝Cna＋Cna(2)通项公式：Tr＋1＝Cnarn－rrn0n1n－1

n－rrn*

b＋…＋Crb＋…＋Cnnanb(n∈N)；

b，它表示第r＋1项；

0

1

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Cn，Cn，…，Cn. 2．二项式系数的性质 性质 性质描述 kn－kn对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即Cn＝Cn 二项式 系数Cn k当k<当k>n＋122(n∈N)时，二项式系数是递增的 (n∈N)时，二项式系数是递减的 **增减性 n－1当n为偶数时， 中间的一项最大值 当n为奇数时，中间的两项[常用结论] 1．Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2.

2．Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2

0

2

4

1

3

5

0

1

2

取得最大值 和相等，同时取得最大值 nnn－1

.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Cnakn－kkb是(a＋b)n的展开式中的第k项． ( )

(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项． ( ) (3)(a＋b)的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． ( ) (4)通项Tk＋1＝Cnakn－kknb中的a和b不能互换． ( )

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√

2．(教材改编)(1－2x)展开式中第3项的二项式系数为( ) A．6 C．24

B．－6 D．－24

4

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A [(1－2x)展开式中第3项的二项式系数为C4＝6.故选A.]

5

4

2

?1?32

3．(教材改编)二项式?x－2y?的展开式中xy的系数是( )

?2?

A．5 C．20

B．－20 D．－5

5－rr (－2y).根据题意，得

?1?5r?1?A [二项式?x－2y?的通项为Tr＋1＝C5?x?

?2??2?

??5－r＝3，

???r＝2，

3

322?1?2

解得r＝2.所以xy的系数是C5??×(－2)＝5.故选A.]

?2?

0

1

2

2 019

C2 019＋C2 019＋C2 019＋…＋C2 019

4．(教材改编)0242 020的值为( )

C2 020＋C2 020＋C2 020＋…＋C2 020A．1 C．2 019

22

B [原式＝2 020－1＝2 019＝1.故选A.]

22

5．(1＋x)的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n＝________. 10 [∵T6＝Cnx，又仅有第6项的系数最大，∴n＝10.]

552 019

2 019

B．2

D．2 019×2 020

n

二项展开式的有关问题 5?1?2

【例1】 (1)(x＋2)?2－1?的展开式的常数项是( )

?x?

A．－3 C．2

6

B．－2 D．3

?22?33

(2)(2018·广州二模)?x－＋y?的展开式中，xy的系数是________．(用数字作答)

?

x?

(1)D (2)－120 [(1)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：112214

第一个因式取x项，第二个因式取2项得x×2×C5(－1)＝5；第一个因式取2，第二个因式

xx取(－1)得2×(－1)×C5＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D.

6

555

2?22?2

(2)?x－＋y?表示6个因式x－＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余

?

x?

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22333332

的3个因式中有2个选x，剩下一个选－，即可得到xy的系数．即xy的系数是C6C3×(－

x2)＝20×3×(－2)＝－120.]

[规律方法] 求二项展开式中的特定项的方法,求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取. 值范围k＝0，1，2，…，n1第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项； 2常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； 3有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.,特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解. 4求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦. 615?21? (1)若?x＋?的展开式中常数项为，则实数a的值为( )

ax?16?

A．±2 C．－2

1

B. 21D．±

2

n?31?

?的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项分别是(2)已知在?x－

?3?

2x??

________．

6

456345?21?2－2?(1)A (2)4x，－8，256x [(1)??x＋ax?的展开式的通项为Tr＋1＝

44

11151????4????，令12－3r＝0，得r＝4.故C6·?a?＝16，即?a?＝16，

解得a＝±2.故选A.

(2)由Tr＋1＝

r

＝.

∵第6项为常数项，∴r＝5时有n－2r3

＝0，即n＝10.

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10－2r??3∈Z，当?0≤r≤10，??r∈Z

10－2r时，即r＝2,5,8时∈Z，

3

4526345－2

所以展开式中的有理项分别为x，－，x.]

48256

二项式系数的性质及应用 ?考法1 二项式系数的和 n?x＋3?2

【例2】 (1)在??的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则xx??

的系数为( )

A．50 C．90

9

B．70 D．120

2

9

(2)(2019·汕头质检)若(x＋2＋m)＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)＋…＋a9(x＋1)，且(a0＋

a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．

?x＋3?nn?x＋3?n(1)C (2)－3或1 [(1)令x＝1，则??＝4，所以??的展开式中，各项系

x?x???

4nr5－

数和为4，又二项式系数和为2，所以n＝2＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝C5x2

nnrn33?3?rrr222

??＝C53x5－2r，令5－2r＝2，得r＝2，所以x的系数为C53＝90，故选C. ?x?

(2)令x＝0，则(2＋m)＝a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝－2，则m＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，

又(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8

2

2

9

9

－a9)＝3，

∴(2＋m)·m＝3，∴m(2＋m)＝3， ∴m＝－3或m＝1.] ?考法2 二项式系数的性质

【例3】 设m为正整数，(x＋y)展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )

A．5 C．7

B．6 D．8

2m2m2m＋1

9

9

9

9

展开式

B [根据二项式系数的性质知，(x＋y)的二项式系数最大的项有一项，即C2m＝a，(x＋

m＋1mmy)2m＋1的二项式系数最大的项有两项，即Cm2m＋1＝C2m＋1＝b.又13a＝7b，所以13C2m＝7C2m＋1，将各

m选项中m的取值逐个代入验证，知m＝6满足等式．]