2018年，高考数学专题，排列组合，与二项式定理

Ａ. 288种 Ｂ. 264种 Ｃ. 240种 Ｄ. 168种 一点通：染色问题用树形列表法可以使解题得到简化 答案：设四种颜色为①②③④

?A?11?264，故选B。

点评：染色问题采用数的方法，要将情况考虑全，不要遗漏。在数的过程中要搞清分了几步，利用乘法原理进行计数。

例7 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个点，可以组成多少个不同的三棱锥？

一点通：组成三棱锥，只需4个点不共面，考虑到直接法有困难，故采用间接排除法。

答案：从10个点中任取4个点有

中，其中4个点共面有三类情况：

种；

34

①4个点位于四面体的同一面中，有4

②取任一条棱上的3个点，及该棱对棱的中点，这四点共面共有6种；

③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面有3种，所以不同的取法共有

－4

－6－3＝141种。

3例8 (1?2x)(1?x)的展开式中x的系数是

35A. －4 B. －2 C. 2 D. 4

一点通：将一个二项式展开，再和另一个二项式凑出x项 答

案

：

(1?2x)3(1?3x)5?(1?6x?12x?8xx)(1?3x)5，故

30(?3x)3?12xC5??10x?12x?2x?2x(1?2x)3(1?3x)5的展开式中含x的项为1?C5，所

以x的系数为2。选C。

点评：本小题主要考查了对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了一些基本运算能力。

例9 已知

，则(a0?a1?a2???a100)

?[(a0?a2???a100)?(a1?a3?a5???a99)]等于 。

一点通：选择合适的值赋予x

100答案：令x?1，则有a0?a1?a2???a100?(2?1)， 100令x??1，则有a0?a1?a2?a3???a99?a100?(2?1)，

故(a0?a1?a2???a100)[(a0?a2???a100)?(a1?a3???a99)]

。

点评：利用赋值法解决系数和的问题

2例10 （1）求(x?19)的展开式中的常数项； 2xax99(?)的展开式中x3的系数为，求常数a的值。 （2）已知

4x225（3）求(x?3x?2)的展开式中含x的项。

一点通：求二项展开式中某指定项的系数、二项式系数或特定项问题，是二项式定理的基本问题，通常用通项公式来解决。如（1）（2）两小题，通过设未知数，借助通项公式，建立方程，最后再用通项公式得到相应的项或相应项的系数。

答案：（1）设第r?1项为常数项，

r29?r则Tr?1?C9(x)?(?1r1)?(?)rC9rx18?3r， 2x212121,?常数项为。

216163（2）本题只与某一项有关，用通项公式，设第r?1项是含x的项，则有

66令18?3r?0,r?6，即第7项为常数项，Tr?(?)C9?ax9C9r()9?r(?)r?x3，

x24得xr?93x?x3，故r?9?3，即r?8。

2r28?C9a(?189)?.?a?4。 242555（3）方法一：?(x?3x?2)?(x?1)(x?2)，

2555由展开式，(x?3x?2)展开式中含x的项是(x?1)展开式中的一次项与(x?2)55展开式中的常数项之积。(x?1)展开式中的常数项与(x?2)展开式中的一次项之积的代数和。

4554?含x的项为C5?x?C5?25?C5?1?C5?x?24?240x。

方法二：(x?3x?2)展开式中的一次项是5个括号中有1个括号内取3x，其余4个括号内取常数项2相乘得到的，即C5?3x?C4?2?240x。

点评：在应用通项公式时，要注意以下几点：

（1）它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定； （2）Tr?1是展开式中的第r?1项，而不是第r项； （3）公式中a、b的指数和为n,a、b不能随便颠倒位置； （4）要将通项中的系数和字母分离开来，以便于解决问题； （5）对二项式(a?b)展开式的通项公式要特别注意符号问题。

对于三项式问题可转化为二项式来求某些特定的项或指定项的系数，也可以利用组合数及分类或分步计数原理求解。

n14425

例

11

对

于

n?a0?2k?a1?2k?1?a2?2k?2?n?N*n，将表示为?ak?1?21?ak?20，当i?0时，ai?1，当1?i?k0时，ai为0或1。记I(n)为上述表示中ai为0的个数（例如1?1?2，

4?1?22?0?21?0?20，故I(1)?0,I(4)?2），则

（1）I(12)?_____ （2）一点通：按0的个数进行分类

3210答案：（1）因12?1?2+1?2?0?2?0?2，故I(12)?2；

?2n?1127I(n)?______

1（2）在二进制的k(k?2)位数中，没有0的有1个，有1个0的有Ck?1个，有2个0

的有Ck?1个，……，有m个0的有Ck?1个，……，有k?1个0的有Ck?1?1个。故对所有二进制为k位数的数n，在所求式中的211221?20?Ck?2?C?2??1k?172mk?1I(n)的和为：

1277?1k?1k?1?Ckk??2?3。 1又127?2?1，恰为二进制的最大7位数，所以

?2n?1I(n)?2??3k?1?1093。

0k?2点评：此题考查二进制数的构成特征，分类讨论的数学思想方法。

解排列组合问题的基本思路：

（1）对带有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法。

①有特殊元素或特殊位置的排列，通常是先排特殊的元素或特殊位置； ②元素必须相邻的排列，可以先将相邻的元素看作一个整体； ③元素不相邻的排列，可以制造空档插进去；

④元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序，排列后再利用规定顺序的实情求结果。 （2）处理几何中的计算问题，应注意“对应关系”，如不共线的三点确定一个三角形，不共面的四点可以确定一个四面体等，可借助图形来帮助思考，并善于将几何性质用于解题。 （3）对于有多个约束条件的问题，可以通过分析每个约束条件，然后再综合考虑是分类或分步，或交替使用两个原理，也可以先不考虑约束条件，扣除不符合条件的情况获得结果。

（4）要注意正确理解“有且仅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”、“不都是”等词语的确切含意。

二项式定理问题：

（1）运用二项式定理一定要牢记通项Tr?1?Cnarn?rbr，注意(a?b)n与(b?a)n虽然

r相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外，二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者是指Cn，而后者是字母外的部分。

（2）对于二项式系数问题，应注意以下几点：

①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量为1； ②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时，应注意运用放缩法。

（3）求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr?1，有时还需先求n，再求r，才能求出Tr?1。

（4）有些三项展开式问题可以通过变形变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏。

通过本讲的复习教学，在求解排列与组合应用问题时，应注意以下方面：

1. 弄清题意抓住实质，把具体问题归结为排列或组合问题，有时转化为两个原理问题来解决。

2. 分析条件，选用合理的方法（直接法或间接法）。分类讨论时，做到不重不漏，这一点也是求解排列、组合综合问题时最易犯错的地方。

3. 本讲内容经常运用的思想方法有分类讨论、转化与化归、方程思想等。

综观近年来的高考试题，本部分内容的重点是二项式定理以及通项、系数的考查，多以考查基本概念、基本知识为主。能力要求主要是以解决问题为主，对难度不大的二项式试题，复习中重点以复习解题方法为主。例如：求系数和、求某项系数、求常数项、求有理项、求所含参数值等等，每类试题均有所涉及，应对这些知识点全面复习。

（答题时间：45分钟）

A. A8A9 B. A8C9 C. A8A7 D. A8C7

828282821. （高考北京卷理科）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 2. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市各一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）

A. 300种 B. 240种 C. 114种 D. 96种

3. 从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，则直角三角形的个数为（ ）个 A. 56 B. 52 C. 48 D. 40

4. 若直线方程Ax＋By＝0的系数A、B可以从0，1，2，3，6，7等六个数字中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是（ ）

A.

－2 B.

C.

＋2 D.