理论力学答案（谢传峰版）

解：设初始时,绳索AB的长度为L,时刻t时的长度 为s,则有关系式：

s?L?v0t，并且 s2?l2?x2

将上面两式对时间求导得：

???v0，2ss??s?2xx

vo

?

F y

vo

FN

sv0 （a） x(a)式可写成：xx???v0s，将该式对时间求导得：

由此解得：x???

22 (b) ????xx?x??sv0?v0mg

2222?v0?xv0l将(a)式代入(b)式可得：ax???x???3（负号说明滑块A的加速度向上）

xx

取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：

ma?F?FN?mg

将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：

其中：

?m?x?mg?Fcos??m?y??Fsin??FN

cos??xx?l22,sin??lx2?l2

将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：

22v0llF?m(g?3)1?()2x x22v0l???x??3,?y?0x

1－11

vB B ? O A ? O R x ? x A vA

解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以vB??R，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等，即：

vB?vAcos? （a） 因为

cos??

将上式代入（a）式得到A点速度的大小为：

x2?R2x （b）

vA??R

xx2?R2 （c）

?由于vA??x，（c）式可写成：?x?x2?R2??Rx，将该式两边平方可得：

2?x(x2?R2)??2R2x2

将上式两边对时间求导可得：

3?????2xx(x2?R2)?2xx?2?2R2xx

?将上式消去2x后，可求得：

(x2?R2)2 (d)

?2R4x由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为 aA?2 22(x?R)

取套筒A为研究对象，受力如图所示，

根据质点矢量形式的运动微分方程有：

??x???2R4xy B FN R ma?F?FN?mg

将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的 运动微分方程：

? O F ? v A A mg x ?m?x??Fcos??m?y?Fsin??FN?mg

其中：

Rsin??,cos??x?2R4xx2?R2???x??2,?y?022(x?R)x,

将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得

F?m?2R4x2(x?R)2252,FN?mg?m?2R5x(x2?R2)2

5

1－13

解：动点：套筒A；

动系：OC杆；

定系：机座；

运动分析：

绝对运动：直线运动；

相对运动：直线运动；

牵连运动：定轴转动。

根据速度合成定理

ve

va

vr

有：vacos??ve，因为AB杆平动，所以va?v，

va?ve?vr

vevcos2?l由此可得：vcos??ve，OC杆的角速度为??，OA?，所以 ??

lcos?OA

avcos2450av当??45时，OC杆上C点速度的大小为： vC??a? ?l2l0

1－15

解：动点：销子M

动系1：圆盘

动系2：OA杆

定系：机座；

运动分析：

ve1vr1

ve2

vr2

x

绝对运动：曲线运动

相对运动：直线运动

牵连运动：定轴转动

根据速度合成定理有

va1?ve1?vr1， va2?ve2?vr2

由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即va2?va1，由上两式可得：

ve1?vr1?ve2?vr2 (a)

将（a）式在向在x轴投影,可得：

由此解得：

?ve1sin300??ve2sin300?vr2cos300

bsin300vr2?tan30(ve2?ve1)?OMtan30(?2??1)?(3?9)??0.4m/scos2300

00ve2?OM?2?0.23

2vM?va2?ve2?vr22?0.529m/s

1－17

解：动点：圆盘上的C点；

动系：O1A杆；

定系：机座；

运动分析：绝对运动：圆周运动；

相对运动：直线运动（平行于O1A杆）；

牵连运动：定轴转动。

根据速度合成定理有

va ve vr va?ve?vr （a）

将（a）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得：

vacos300?vecos300，vasin300?vrsin300