理论力学答案（谢传峰版）

系统的动力学方程可表示成：

由上式解得：

?12?2d?(m?mCcot2?)vA?(m?mcot?)vAdvA?mgvAdtC?2??

aA?dvAmg?dtm?mCcot2?，aC?aAcot?

2－17 质量为m0的均质物块上有一半径为R的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为m(m0?3m)光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处??300时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。

A A

? ? R R ve m0g B B mg vr FN 图A 图B

解：取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为vr，物块的速度为ve，则系统的动能为

T?

设??0为势能零点，则系统的势能为

根据机械能守恒定理和初始条件有T?V?0，即

1121122m0ve?mva?m0ve?m[(ve?vrsin?)2?(vrcos?)2]2222

V??mgRsin?

321mve?m[(ve?vrsin?)2?(vrcos?)2]?mgRsin?22(1)

系统水平方向的动量为：

px?m0ve?m(ve?vrsin?)(2)

根据系统水平动量守恒和初始条件由(2)式有

3mve?m(ve?vrsin?)?0

由此求出ve?得：

1vrsin?，将这个结果代入上面的机械能守恒式(1)中,且??300最后求4vr?4gR1gR,ve?15215

下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为ar，物块的加速度为ae，对于小球有动力学方程

maa?m(ae?arn?art)?F?mg（a）

A

at ? ?r R F R F B m0g mg aeae

FN 图C 图 D

对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有

A B m0ae?F?m0g?FN（b）

将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得

m(arn?aecos?)?F?mgsin?

vr2其中相对加速度为已知量，a?。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得

Rnr

m0ae?Fcos?

令??300，联立求解三个投影方程可求出

0?FN?m0g?Fsin?

ae?

2－18 取小球为研究对象，两个小球对称下滑，

473g94,F?mg,FN?3.6267mg15275

设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有：

将上式对时间t求导并简化可得：

1?m(R?)2?mgR(1?cos?) （a） 2

每个小球的加速度为

g????sin? (b ) Rmg m0g FN

anm

mg

tam

取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理

将上式在y轴上投影可得：

tna?am?am22???????(R?cos??R?sin?)i?(?R?sin??R?cos?)j

?maiiC??Fi

将(a),(b)两式代入上式化简后得

FN?m0g?2mg(3cos2??2cos?)

FN?0时对应的?值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成

2???m0?0?2m(R?sin??R?cos?)?FN?2mg?m0g

m0?02m

3m11上述方程的解为：cos??(?1?0)

332m?113m0??? 圆环脱离地面时的?值为?1?arccos?1??332m????113m0???也是方程的解，但是???1时圆环已脱离地面，因此而?2?arccos?1??332m??????2不是圆环脱离地面时的值。

3cos2??2cos??

2－19 取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为vr，牵连速度为ve，由系统对z轴的动量矩守恒，有：

其中：ve?r?，则上式可表示成：

Lz??m0r2??mver?mvrcos?r?0

z

mvrcos??vcos?由此解得：?? ?r(m0?m)rrmh其中：??，tan??

m0?m2?r

根据动能定理积分式，有：T2?T1?

(m0?m)r2??mvrcos?r

ve

vr

?

?W1?2

112m0r2?2?mvaW1?2?mgnh?22

222其中：va?(ve?vrcos?)?(vrsin?)，将其代入动能定理的积分式，可得：

T1?0,T2?

m0r2?2?m[(r??vrcos?)2?(vrsin?)2]?2mghn

将?? 则：

?vrcos?r代入上式，可求得：vr?2ghn 21??cos????cos?r2ghn 21??cos?

2由va?(ve?vrcos?)2?(vrsin?)2

可求得：va?vr[1??(2??)cos?]

2－20 取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为? 应用动量矩定理，链条对O轴的动量矩为： 外力对O轴的矩为：

212LO???r3??

?r?r??gds 0MO???gr2???grcos?ds?grcos?rd?

? ???gr2?????

0???gr2??gr2sin???M?LOO?????r3????gr2??gr2sin???因为：r??

?r?g

dvdvd??dv?vdv，所以上式可表示成： ???dtd?dtd?rd????r???g?gsin??vdv??g?gsin?rd? ?vdv?rg(??sin?)d?