理论力学答案（谢传峰版）

t??mar?ml???mgsin??Fecos?

d??d??d?d?????因为Fe?mae?ma,??，所以上式可写成 ???dtd?dtd?

整理上式可得

?d??ml???mgsin??macos?d?

??l?d???gsin?d??acos?d?

将上式积分：

l??2?gcos??asin??c2

?其中c为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度vr?l?，上式可写成

初始时??0，系统静止，va?ve?0，根据速度合成定理可知vr?0，由此确定c??g。重物相对速度与摆角的关系式为：

1-26 水平板以匀角速度?绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图7-8），初始时小球相对静止且到转轴O的距离为RO，求小球到转轴的距离为R?RO时的相对速度。

vr

Fe

θ

F FCR R ? ? Ro Ro

O O 解：取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根 据质点相对运动微分方程有：

vr2?gcos??asin??c2l

vr2?2l[g(cos??1)?asin?]

mar??F?Fe?FC

将上式在vr上投影有 mart?m

dvr?Fecos? dt

因为Fe?mR?2，

dvrdvrdRdR，?vrcos?，所以上式可写成 ?dtdRdtdtmvrcos?

整理该式可得：

将该式积分有：

vrdvr?mR?2cos?dR

dvr?R?2 dR12122vr??R?c 22122初始时R?RO,vr?0,由此确定积分常数c???2RO，因此得到相对速度为

2vr??R2?RO

1-27 重为P的小环M套在弯成xy?c2形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴x以匀角速度?转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。

F y ? y Fe?

M M P x x

解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为ar?0，因为金属丝为曲线，所以vr?0，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中

F,Fe,P分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有：

其中：Fe?F?Fe?P?0

Py?2，将上式分别在x,y轴上投影有 gP?Fsin??0Fe?Fcos??0（a）

c2dyc2dy以为tan???，y?,??2,因此

xdxdxx

c2tan??2x（b）

由（a）式可得

tan??（c）

将Fe?PFe

P，并利用 xy?c2，可得： y?2和式（b）代入式（c）

g

再由方程（a）中的第一式可得

1142x?????3?23?c??,y???cg??g?2?????

4F?P42?P1?1?P1?x???c???3sin?tan2?c4P1???g??

2-1 解：当摩擦系数f足够大时，平台AB 相对地面无滑动，此时摩擦力F?fFN

取整体为研究对象，受力如图，

系统的动量：p?m2vr

将其在x轴上投影可得：px?m2vr?m2bt

根据动量定理有：

vr

v

m2g

F

FN

m1g

x

dpx?m2b?F?fFN?f(m1?m2)gdt

m2b即：当摩擦系数f?时，平台AB的加速度为零。

(m1?m2)g

当摩擦系数f?

将上式在x轴投影有：

根据动量定理有：

m2b时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为：

(m1?m2)gp?m2(v?vr)?m1v

px?m2(?v?vr)?m1(?v)?m2bt?(m1?m2)v

dpx?m2b?(m1?m2)a?F?fFN?f(m1?m2)gdt

m2b由此解得平台的加速度为：a??fg（方向向左）

m1?m2

2-2 取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中F为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为：

x FN p?mv?m1v1?mv?m1(v?vr)

v

将上式在x轴投影：

F vr ??px?mx?m1(x?l?cos?) mg 根据动量定理有：

m1g