高考数学总复习 第2章 第10节 导数及其运算双基自测 理(新版)苏教版必修1

第十节 导数及其运算

内容 导数的概念 导数的几何意义 导数的运算 简单复合函数的导数 要求 A √ B √ √ √ C 考纲传真

1．函数f(x)在x＝x0处的导数

Δyfx0＋Δx－f(1)定义：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝

ΔxΔxx0

无限趋近于一个常数A，

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则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．

(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 2．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数 f(x)＝xn(n为常数) f′(x)＝n·xn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a(a＞0且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝1xln a f(x)＝ln x f′(x)＝1x 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)[

fxgx]′＝f′xgx－fxg′x[gx]

2

(g(x)≠0)． 2

1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)函数f(x)＝x2

ln x的导函数为f′(x)＝2x·1x＝2.( )

[解析] (1)f′(x0)是表示导函数f′(x)在自变量为x0时的函数值，而(f(x0))′是表示对函数值f(x0)求导数．(1)错误(2)求f′(x0)要先求f′(x)再求f′(x0)，(2)错误

(3)曲线的切线和曲线可能有一个交点也可能有多个交点．(3)正确． (4)f(x)＝x2

ln x的导函数为f′(x)＝2x·ln x＋x＝(2ln x＋1)x.(4)错误 [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×

2．(教材习题改编)如图2-10-1，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.

3

图2-10-1

[解析] f(5)＝－5＋8＝3，而f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2. [答案] 2

3．已知f(x)＝x＋2sin x，则f′(0)＝________. [解析] f′(x)＝1＋2cos x，∴f′(0)＝1＋2cos 0＝3. [答案] 3

4．(2014·广东高考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________________________．

[解析] 因为y′|0

x＝0＝－5e＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0. [答案] 5x＋y＋2＝0

5．(2013·广东高考)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________. [解析] 函数y＝kx＋ln x的导函数为y′＝k＋1

x，

由导数y′|x＝1＝0，得k＋1＝0，则k＝－1.

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