2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学(理)试题

解得

，解得

”为真命题，等价于，则，则

；

.

恰有一真一假

（2）若为真命题，则因为“

”为假命题，“

当真假时，当假真时，

综上所述，实数的取值范围是

【点睛】该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有根据命题的真假求参数的取值范围，复合命题真值表，属于简单题目.

18.某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照

，，

分成5组，制成如图所示频率分直方图．

，

（1）求图中x的值；

（2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在

内的男生数与女生数的比为

，若在满意度评分值为

的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率． 【答案】（1）0.02（2）平均数77，中位数【解析】 【分析】

（1）由频率分布直方图的性质得出的值； （2）根据平均数和中位数的定义得出； （3）由题意，满意度评分值为

的人的频率为0.005，故人数为5，根据男女比例得出

（3）

男女人数，根据列举的值随机抽取2人共10个基本事件，根据古典概型得出. 【详解】（1）由

（2）这组数据的平均数为

，解得

．

．

中位数设为，则（3）满意度评分值在

内有

，解得人，

其中男生3人，女生2人．记为记“满意度评分值为

的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A 通过列举知总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个， 利用古典概型概率公式可知

.

【点睛】该题考查的是有关频率分布直方图的问题，涉及到的知识点有直方图的性质，应用直方图求中位数和平均数，古典概型概率公式，属于简单题目. 19.如图，三棱柱点．

的所有棱长都是2，

平面ABC，D，E分别是AC，

的中

（1）求证：（2）求二面角

； 的余弦值．

【答案】（1）见证明；（2） 【解析】 【分析】

（1）利用线面垂直的判定和性质，得到（2）建立空间直角坐标系，求面DBE和面面角

的余弦值.

，D是AC的中点，∴

平面ABC， ．

的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE

．

，

平面

，进而证得

；

的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二

【详解】（1）∵∵∴

平面ABC，∴平面平面

，∴

又∵在正方形中，D，E分别是AC，

∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即又又

，∴，则

平面

．

（2）取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系

，，，

，，， ，

，

设平面DBE的一个法向量为则令设平面则令

，则

，

，则

， ，

的一个法向量为

， ，

设二面角的平面角为，观察可知为锐角，

故二面角的余弦值为．

【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定和应用空间向量求二面角的余弦值，在解题的过程中，注意对角的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 20.在

中，D，E分别为AB，AC的中点，

，以DE为折痕将

折起，

使点A到达点P的位置，如图.

（1）证明：（2）若平面DEP

；

平面BCED，求直线DC与平面BCP所成角的正弦值。

【答案】（1）见证明（2）【解析】 【分析】

（1）利用三角形的中位线得到，根据线面平行的判定定理证得；

（2）利用面面垂直的性质，得到线线垂直，从而得到建立空间直角坐标系的条件，利用向量法求得线面所成角的正弦值.

【详解】（1）（1）证明：D，E分别为AB，AC的中点，则又

，

平面. 又因为

，

，，则

，平面平面

。 平面，所以

，.

平面

，

.

，

（2）因为平面所以

平面

以为坐标原点，分别以角坐标系

的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直

在题图1中，设则所以设则令

，则

为平面，即.所以，

，则，，

的法向量，

，

，，.

，.

，.

.

设DC与平面BCP所成的角为， 则

.

.

所以直线DC与平面BCP所成角的正弦值为