(优辅资源)江苏省南通市、泰州市高三第一次模拟考试数学Word版含答案

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所以当x＝－a－1时，F(x)取得极小值，也是最小值， 所以M(a)＝F(－a－1)＝(－a－1＋a)e＝－e

－a－1

－a－1

－[(－a－1)3＋a(－a－1)2＋b(－a－1)]

－(a＋1)2(a＋2)．(12分)

令t＝－a－1，则t<－1，

记m(t)＝－et－t2(1－t)＝－et＋t3－t2，t<－1， 则m′(t)＝－et＋3t2－2t，t<－1. 因为－e1<－et<0，3t2－2t>5，

－

所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增．(14分) 17－

所以m(t)<－et－2<－－2＝－，

337

所以M(a)<－.(16分)

3

20. 解析：(1) 当n为奇数时，an＋1－an＝2(n＋1)－1－(2n－1)＝2>0，所以an＋1≥an.(2分) an－2＋an＋2＝2(n－2)－1＋2(n＋2)－1＝2(2n－1)＝2an；(4分) 当n为偶数时，an＋1－an＝2(n＋1)－2n＝2>0，所以an＋1≥an. an－2＋an＋2＝2(n－2)＋2(n＋2)＝4n＝2an. 所以数列{an}是“R(2)数列”．(6分) (2) 由题意可得bn－3＋bn＋3＝2bn，

则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1， 数列b2，b5，b8，…是等差数列，设其公差为d2， 数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3.(8分) 因为bn≤bn＋1，所以b3n＋1≤b3n＋2≤b3n＋4，

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所以b1＋nd1≤b2＋nd2≤b1＋(n＋1)d1， 所以n(d2－d1)≥b1－b2，① n(d2－d1)≤b1－b2＋d1.②

b1－b2

若d2－d1<0，则当n>时，①不成立；

d2－d1b1－b2＋d1

若d2－d1>0，则当n>时，②不成立．

d2－d1若d2－d1＝0，则①和②都成立，所以d1＝d2.

同理得d1＝d3，所以d1＝d2＝d3，记d1＝d2＝d3＝d.(12分) 设b3p－1－b3p－3＝b3p＋1－b3p－1＝b3p＋3－b3p＋1＝λ， 则b3n－1－b3n－2＝b3p－1＋(n－p)d－[b3p＋1＋(n－p－1)d] ＝b3p－1－b3p＋1＋d＝d－λ.(14分)

同理可得b3n－b3n－1＝b3n＋1－b3n＝d－λ，所以bn＋1－bn＝d－λ. 所以{bn}是等差数列．(6分)

另解：λ＝b3p－1－b3p－3＝b2＋(p－1)d－[b3＋(p－2)d]＝b2－b3＋d， λ＝b3p＋1－b3p－1＝b1＋pd－[b2＋(p－1)d]＝b1－b2＋d， λ＝b3p＋3－b3p＋1＝b3＋pd－(b1＋pd)＝b3－b1， 2

以上三式相加可得3λ＝2d，所以λ＝d，(12分)

3d

所以b3n－2＝b1＋(n－1)d＝b1＋(3n－2－1)，

3

d

b3n－1＝b2＋(n－1)d＝b1＋d－λ＋(n－1)d＝b1＋(3n－1－1)，

3d

b3n＝b3＋(n－1)d＝b1＋λ＋(n－1)d＝b1＋(3n－1)，

3dd

所以bn＝b1＋(n－1)，所以bn＋1－bn＝，

33所以数列{bn}是等差数列．(16分) 21. A. 解析：延长PT交⊙O2于点C，

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连结O1P，O2C，O1O2，则O1O2过点T. 由切割线定理得PM2＝PC·PT＝3. 因为∠O1TP＝∠O2TC，

△O1TP与△O2TC均为等腰三角形，(5分) 所以△O1TP∽△O2TC，所以PT23所以＝，即PC＝PT.

PC32

3因为PC·PT＝PT·PT＝3，所以PT＝2.(10分)

2B. 解析：由已知得?

PTPO1＝＝2， CTCO2

?1x??0?＝?x?＝λ?0?，

????????02??1??2??1?

0?

?.(4分) 2?

?1?λ＝2，??所以所以A＝?

?0?x＝0，?

设A1＝?

－

?ab?， ??cd?

10??ab??10??则AA＝????＝??， ?02??cd??01?

－1

即?

?ab?＝?10?，

???

?2c2d??01?

1

所以a＝1，b＝c＝0，d＝，

2

?10?－?所以λ＝2，A1＝?1.(10分)

?0??2?

??x＝t－1，

C. 解析：曲线?的普通方程为y＝x2＋2x.(4分) 2

??y＝t－1

?y＝x，?x＝0，??x＝－1，??

??联立?解得或(8分) 2

???y＝x＋2x，y＝0y＝－1，???

所以A(0，0)，B(－1，－1)，

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所以AB＝（－1－0）2＋（－1－0）2＝2.(10分) D. 解析：因为a>1，b>1，

b2a2

所以＋4(a－1)≥4b，＋4(b－1)≥4a.(4分)

a－1b－1b2a2

两式相加＋4(a－1)＋＋4(b－1)≥4b＋4a，

a－1b－1b2a2

所以＋≥8.(8分)

a－1b－1

b2a2

当且仅当＝4(a－1)且＝4(b－1)时，等号成立，

a－1b－1b2a2

即当a＝b＝2时，＋取得最小值为8.(10分)

a－1b－1

→→→

22. 解析：以{AB，AD，AP}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)． →→

(1) 由题意可知，DP＝(0，－4，4)，DC＝(4，－2，0)． 设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)， →??n1·DP＝0，??－4y＋4z＝0，

则?即?

?→4x－2y＝0.???n1·DC＝0，令x＝1，则y＝2，z＝2. 所以n1＝(1，2，2)．(3分)

平面ACD的法向量为n2＝(0，0，1)， 所以|cos〈n1，n2〉|＝

|n1·n2|2

＝， |n1||n2|3

2

所以二面角PCDA的余弦值为.(5分)

3

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